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| Aufgabe | Geben Sie den Entwicklungspunkt, die Koeffizienten und den Konvergenzbereich an:
[mm] 1+\bruch{1}{1^{2}}x+\bruch{1}{2^{2}}x^{2}+\bruch{1}{3^{2}}x^{3}+...+\bruch{1}{k^{2}}x^{k}+... [/mm] |
Hallo,
ich rechne gerade obige Aufgabe. Kann mir jemand sagen, woher die 1 ganz am Anfang der Reihe kommt? k=0 ist wegen der Division durch Null doch nicht definiert, daher habe ich den Reihenstart bei k=1 angesetzt, aber so kommt keine 1 zustande!?
Gruß, Andi
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Hallo Mathe-Andi,
> Geben Sie den Entwicklungspunkt, die Koeffizienten und den
> Konvergenzbereich an:
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> [mm]1+\bruch{1}{1^{2}}x+\bruch{1}{2^{2}}x^{2}+\bruch{1}{3^{2}}x^{3}+...+\bruch{1}{k^{2}}x^{k}+...[/mm]
> Hallo,
>
> ich rechne gerade obige Aufgabe. Kann mir jemand sagen,
> woher die 1 ganz am Anfang der Reihe kommt? k=0 ist wegen
> der Division durch Null doch nicht definiert, daher habe
> ich den Reihenstart bei k=1 angesetzt, aber so kommt keine
> 1 zustande!?
>
Die Reihe ist eben mit der "1" am Anfang so definiert worden.
Die "1" am Anfang der Reihe ist für die Bestimmung
des Konvergenzbereiches nicht relevant.
> Gruß, Andi
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 So 31.03.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Gut zu wissen, ich dachte schon, die Aufgabenstellung hätte einen Fehler.
Danke!
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 So 31.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie den Entwicklungspunkt, die Koeffizienten und den
> Konvergenzbereich an:
>
> [mm]1+\bruch{1}{1^{2}}x+\bruch{1}{2^{2}}x^{2}+\bruch{1}{3^{2}}x^{3}+...+\bruch{1}{k^{2}}x^{k}+...[/mm]
> Hallo,
>
> ich rechne gerade obige Aufgabe. Kann mir jemand sagen,
> woher die 1 ganz am Anfang der Reihe kommt? k=0 ist wegen
> der Division durch Null doch nicht definiert, daher habe
> ich den Reihenstart bei k=1 angesetzt, aber so kommt keine
> 1 zustande!?
mal neben Mathepowers Antwort:
Deine Reihe hat die Form
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k\;(x-x_0)^k$$
[/mm]
mit [mm] $a_0:=1$ [/mm] und [mm] $a_k:=1/k^2$ [/mm] für jedes natürliche $k [mm] \ge 1\,.$ [/mm] Zudem ist [mm] $x_0=0\,.$
[/mm]
Wer sagt denn, dass man "die Beschreibung der [mm] $a_k$ [/mm] nicht aufspalten darf"?
Ich kann ja auch eine Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty b_k$ [/mm] definieren etwa, indem ich
sowas verrücktes mache wie: [mm] $b_k:=1\,,$ [/mm] falls [mm] $k\,$ [/mm] eine Primzahl ist, dann
setze ich [mm] $b_k:=200\,,$ [/mm] falls $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 31$ KEINE Primzahl ist und ansonsten
sei [mm] $b_k:=1/k^{303}\,.$
[/mm]
Du könntest ja auch eine Folge [mm] $(c_n)_n$ [/mm] definieren, indem Du für jedes
Folgenglied den Wert angibst. Dass Du niemals mit dem Aufschreiben dieser
Folge dann fertig werden würdest, ist eine andere Sache. Aber warum "muss
es denn eine Formel" für die Folge geben? Eigentlich brauchen wir ja
nur "irgendeine Beschreibung". Natürlich wird man meist irgendwie mit Folgen
konfrontiert, bei denen wir zumindest für fast alle Folgenglieder sowas wie
eine Formel haben, die diese beschreiben...
Gruß,
Marcel
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