Potenzreihe entwickeln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hello,
ich muss folgende Funktion [mm] f(x)=\frac{x-1}{x^2+2} [/mm] um [mm] x_0=0 [/mm] in eine Potenzreihe bringen.
Dazu muss ich Koeffizientenvergleich benutzen, also erhalte ich:
[mm] \gdw \frac{x-1}{x^2+2} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n \cdot x^n
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x-1 = [mm] (x^2+2) \cdot \summe_{n=0}^{\infty}a_n \cdot x^n
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x-1 = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}2a_n \cdot x^n [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n \cdot x^{n+2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x-1 = [mm] 2a_0 [/mm] + [mm] 2a_1 \cdot [/mm] x + [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(2a_n+a_{n-2}) \cdot x^n
[/mm]
Nun bekomme ich ja: [mm] 2a_0 [/mm] = -1 und [mm] 2a_1 [/mm] x = x und [mm] 2a_n+a_{n-2} [/mm] = 0, woraus ich folgere, dass [mm] a_0=-0,5 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] = 0,5 gelten muss.
Wie bekomme ich nun aber die Darstellung der Potenzreihe damit???
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Hallo Der-Madde-Freund,
> Hello,
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> ich muss folgende Funktion [mm]f(x)=\frac{x-1}{x^2+2}[/mm] um [mm]x_0=0[/mm]
> in eine Potenzreihe bringen.
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> Dazu muss ich Koeffizientenvergleich benutzen, also erhalte
> ich:
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> [mm]\gdw \frac{x-1}{x^2+2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n \cdot x^n[/mm]
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> [mm]\gdw[/mm] x-1 = [mm](x^2+2) \cdot \summe_{n=0}^{\infty}a_n \cdot x^n[/mm]
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> [mm]\gdw[/mm] x-1 = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}2a_n \cdot x^n[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n \cdot x^{n+2}[/mm]
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> [mm]\gdw[/mm] x-1 = [mm]2a_0[/mm] + [mm]2a_1 \cdot[/mm] x +
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(2a_n+a_{n-2}) \cdot x^n[/mm]
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> Nun bekomme ich ja: [mm]2a_0[/mm] = -1 und [mm]2a_1[/mm] x = x und
> [mm]2a_n+a_{n-2}[/mm] = 0, woraus ich folgere, dass [mm]a_0=-0,5[/mm] und [mm]a_1[/mm]
> = 0,5 gelten muss.
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>
> Wie bekomme ich nun aber die Darstellung der Potenzreihe
> damit???
Entwickle dem Bruch [mm]\bruch{1}{x^{2}+2}[/mm] in eine geometrische Reihe.
Es ist doch:
[mm]\bruch{x-1}{2+x^{2}}=\bruch{x-1}{2-\left(-x^{2}\right)}=\bruch{1}{2}*\bruch{x-1}{1-\left(-\bruch{x^{2}}{2}\right)}[/mm]
Je nach dem für welche x das konvergieren soll.
Gruss
MathePower
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> Entwickle dem Bruch [mm]\bruch{1}{x^{2}+2}[/mm] in eine geometrische
> Reihe.
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> Es ist doch:
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> [mm]\bruch{x-1}{2+x^{2}}=\bruch{x-1}{2-\left(-x^{2}\right)}=\bruch{1}{2}*\bruch{x-1}{1-\left(-\bruch{x^{2}}{2}\right)}[/mm]
>
> Je nach dem für welche x das konvergieren soll.
Also wenn ich [mm] \frac{1}{x^2+2} [/mm] in eine Potenzreiche entwickle, dann erhalte ich ja:
[mm] \frac{1}{x^2+2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{x^2}{2})} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^{2n}
[/mm]
Mir will aber nicht ganz einleuchten, wozu ich die Koeffizienten dazu berechnen musste?
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Hallo Der-Madde-Freund,
> > Entwickle dem Bruch [mm]\bruch{1}{x^{2}+2}[/mm] in eine geometrische
> > Reihe.
> >
> > Es ist doch:
> >
> >
> [mm]\bruch{x-1}{2+x^{2}}=\bruch{x-1}{2-\left(-x^{2}\right)}=\bruch{1}{2}*\bruch{x-1}{1-\left(-\bruch{x^{2}}{2}\right)}[/mm]
> >
> > Je nach dem für welche x das konvergieren soll.
>
>
> Also wenn ich [mm]\frac{1}{x^2+2}[/mm] in eine Potenzreiche
> entwickle, dann erhalte ich ja:
> [mm]\frac{1}{x^2+2}[/mm] = [mm]\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{x^2}{2})}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^{2n}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mir will aber nicht ganz einleuchten, wozu ich die
> Koeffizienten dazu berechnen musste?
Für die Ermittlung der geforderten Potenzreihe von [mm]\bruch{x-1}{x^{2}+2}[/mm]
benötigst Du die Koeffizienten der Potenzreihe von [mm]\bruch{1}{x^{2}+2}[/mm].
Gruss
MathePower
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Muss ich dann quasi sagen, dass für gerade Koeffizienten gilt [mm] a_{2n}= \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}} [/mm] und für ungerade: [mm] a_{2n+1}= \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}?
[/mm]
Worauf man durch die Koeffizientengleichungen [mm] 2a_0 [/mm] = -1 (gerade) und 2 [mm] a_1 [/mm] = 1 (ungerade) schließen konnte?
Die +-0,5 für die Koeffizienten spielen dann doch keine explizite Rolle, oder bin ich gerade wieder auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Do 11.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Muss ich dann quasi sagen, dass für gerade Koeffizienten
> gilt [mm]a_{2n}= \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm] und für ungerade:
> [mm]a_{2n+1}= \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}?[/mm]
>
> Worauf man durch die Koeffizientengleichungen [mm]2a_0[/mm] = -1
> (gerade) und 2 [mm]a_1[/mm] = 1 (ungerade) schließen konnte?
>
> Die +-0,5 für die Koeffizienten spielen dann doch keine
> explizite Rolle, oder bin ich gerade wieder auf dem
> Holzweg?
Du mußt doch nur noch die Potenzreihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^{2n}
[/mm]
mit x-1 multiplizieren.
Die gesuchte Potenzreihe ist dann
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^{2n+1}-\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^{2n}
[/mm]
Kannst Du das noch zusammenfassen ?
FRED
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Also hätte man sich den Koeffizientenvergleich sparen können und hätte einfach deine oben genannte Multiplikatiion durchführen können?
In eine Summe schreiben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^{2n+1}-\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^{2n})
[/mm]
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Hallo Der-Madde-Freund,
> Also hätte man sich den Koeffizientenvergleich sparen
> können und hätte einfach deine oben genannte
> Multiplikatiion durchführen können?
>
Ja..
>
> In eine Summe schreiben:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^{2n+1}-\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^{2n})[/mm]
>
Gruss
MathePower
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Achso, ok das habe ich dann verstanden!!!
Aber ich würde trotzdem gerne noch die Variante mit dem Koeffizientenvergleich verstehen :p
Also, wenn ich bei dieser Umformung bin:
x-1 = $ [mm] 2a_0 [/mm] $ + $ [mm] 2a_1 \cdot [/mm] $ x + $ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(2a_n+a_{n-2}) \cdot x^n [/mm] $
dann kann ich ja jetzt direkt die Koefizienten berechnen und zwar [mm] a_o=-0,5 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] = 0,5.
Mein Problem ist nun einfach, dass ich den nächsten Schritt irgendwie nicht durchblicke, also was ich genau mit denen machen muss. Bei der Partialbruchzerlegung gibt es ja spezielle Ansätze, wo die berechneten Koeffizienten eingesetzt werden, aber hier bei den Potenzreihen bin ich überfragt...
Bin wohl ein hoffnungsloser Fall :p
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Hallo Der-Madde-Freund,
> Achso, ok das habe ich dann verstanden!!!
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> Aber ich würde trotzdem gerne noch die Variante mit dem
> Koeffizientenvergleich verstehen :p
>
> Also, wenn ich bei dieser Umformung bin:
> x-1 = [mm]2a_0[/mm] + [mm]2a_1 \cdot[/mm] x +
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(2a_n+a_{n-2}) \cdot x^n[/mm]
> dann kann
> ich ja jetzt direkt die Koefizienten berechnen und zwar
> [mm]a_o=-0,5[/mm] und [mm]a_1[/mm] = 0,5.
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> Mein Problem ist nun einfach, dass ich den nächsten
> Schritt irgendwie nicht durchblicke, also was ich genau mit
> denen machen muss. Bei der Partialbruchzerlegung gibt es ja
> spezielle Ansätze, wo die berechneten Koeffizienten
> eingesetzt werden, aber hier bei den Potenzreihen bin ich
> überfragt...
>
Ein Koeffizientenvergleich ergibt für [mm]n \ge 2[/mm]:
[mm]2*a_{n}+a_{n-2}=0[/mm]
Daraus erhältst Du eine Rekursionsformel für die [mm]a_{n}[/mm].
> Bin wohl ein hoffnungsloser Fall :p
Gruss
MathePower
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