Potenzreihe integrieren < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mo 28.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich bin mir bei einer Aufgabe wiedermal unsicher und wollte euch befragen.
Ich hab [mm] f(x)=xe^x [/mm] und soll nun diese unter Verwendung bekannter Potenzreihen als Potenzreihe darstellen und diese dann integrieren.
Zum Schluss wäre noch zu machen das man zeigt das die integrierte Potenzreihe dasselbe etgibt wie die "normale "Stammfunktion.
Also die Potenzreihe von [mm] xe^x [/mm] hätte ich gesagt ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n+1}}{n!}
[/mm]
Diese Potenzreihe dann abgeleitet müsste doch ergeben [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n+2}}{n!(n+2)} [/mm] und genau hier bin ich dann misstrauisch geworden denn wenn ich diese Reihe in Wolfram Alpha eingebe bekomme ich [mm] e^x(x-1)+1 [/mm] doch die Stammfunktion von [mm] xe^x [/mm] ist [mm] e^x(x-1)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mo 28.11.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
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> Ich bin mir bei einer Aufgabe wiedermal unsicher und wollte
> euch befragen.
>
> Ich hab [mm]f(x)=xe^x[/mm] und soll nun diese unter Verwendung
> bekannter Potenzreihen als Potenzreihe darstellen und diese
> dann integrieren.
>
> Zum Schluss wäre noch zu machen das man zeigt das die
> integrierte Potenzreihe dasselbe etgibt wie die "normale
> "Stammfunktion.
>
> Also die Potenzreihe von [mm]xe^x[/mm] hätte ich gesagt ist
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n+1}}{n!}[/mm]
das sieht doch gut aus.
>
> Diese Potenzreihe dann abgeleitet müsste doch ergeben
Du meinst wohl integrieren 
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n+2}}{n!(n+2)}[/mm] und genau
> hier bin ich dann misstrauisch geworden denn wenn ich diese
> Reihe in Wolfram Alpha eingebe bekomme ich [mm]e^x(x-1)+1[/mm] doch
> die Stammfunktion von [mm]xe^x[/mm] ist [mm]e^x(x-1)[/mm]
>
Es gibt nicht 'die' Stammfunktion, zu jeder Funktion existieren unendlich viele Stammfunktionen. Die die Du angegeben hast sind beide Stammfunktionen, denn beim Ableiten verschwindet die additive Konstante, es ist also für jedes reelle c [mm] $F(x)=e^x(x-1)+c$ [/mm] eine Stammfunktion zu $f(x)$
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 28.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Also sollte [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n+2}}{n!(n+2)} [/mm] stimmen ?
Und wie zeig ich das dann das die Potenzreihe und [mm] e^x(x-1) [/mm] dasselbe sind?
Auf meinen Zettel steht nur noch das ich es durch geeignete Umformungen eventuell durch Verwendung bekannter Potenzreihen zeigen soll
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Hallo racy90,
> Also sollte [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n+2}}{n!(n+2)}[/mm]
> stimmen ?
>
Ja, das stimmt auch.
> Und wie zeig ich das dann das die Potenzreihe und
> [mm]e^x(x-1)[/mm] dasselbe sind?
>
Dazu schreibst Du den Faktor vor der Potenz etwas anders:
[mm]\bruch{1}{n!*\left(n+2\right)}=\bruch{n+1}{n!*\left(n+1\right)*\left(n+2\right)}=\bruch{n+1}{\left(n+2\right)!}[/mm]
Dann muss gegebenenfalls noch eine Umindexierung durchgeführt werden
> Auf meinen Zettel steht nur noch das ich es durch
> geeignete Umformungen eventuell durch Verwendung bekannter
> Potenzreihen zeigen soll
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Di 29.11.2011 | | Autor: | racy90 |
und dann kann ich so einfach schreiben [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+1}{\left(n+2\right)!}*x^{n+2} =e^x(x-1) [/mm] ??
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Hallöle,
nun ja, Papier ist geduldig
Nein, denn diese Gleichung ist falsch.
Eventuell klappt es ja, wenn Du die Ausgangsreihe berichtigst.
Gruß,
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:12 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Ich bin mir bei einer Aufgabe wiedermal unsicher und wollte
> euch befragen.
>
> Ich hab [mm]f(x)=xe^x[/mm] und soll nun diese unter Verwendung
> bekannter Potenzreihen als Potenzreihe darstellen und diese
> dann integrieren.
>
> Zum Schluss wäre noch zu machen das man zeigt das die
> integrierte Potenzreihe dasselbe etgibt wie die "normale
> "Stammfunktion.
>
> Also die Potenzreihe von [mm]xe^x[/mm] hätte ich gesagt ist
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n+1}}{n!}[/mm]
Das stimmt nicht. Die Summation beginnt bei 0:
[mm]x*e^x=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n+1}}{n!}[/mm]
>
> Diese Potenzreihe dann abgeleitet
integriert
> müsste doch ergeben
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n+2}}{n!(n+2)}[/mm]
Nein, wie oben:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n+2}}{n!(n+2)}[/mm]
FRED
> und genau
> hier bin ich dann misstrauisch geworden denn wenn ich diese
> Reihe in Wolfram Alpha eingebe bekomme ich [mm]e^x(x-1)+1[/mm] doch
> die Stammfunktion von [mm]xe^x[/mm] ist [mm]e^x(x-1)[/mm]
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Di 29.11.2011 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo,
es könnte sich lohnen, auch Deinen Versuch der Potenzreihenentwicklung von [mm]x*e^x[/mm] zu überprüfen ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") (besonders die untere Summationsgrenze).
Gruß,
Peter
P.S.: oops, habe Freds Beitrag zu spät gesehen; sorry.
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