Potenzreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 22.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hab da noch so eine Frage:
Also ich hatte ja grad schon [mm] g(x)=e^{x}. [/mm] Die Potenzreihendarstellung ist klar. Aber was mache ich denn jetzt wenn ich zwei Funktionen verknüpfen muss und davon eine Potenzreihenentwicklung brauche?
z.B. [mm] g(x)=e^{x} [/mm] und [mm] f(x)=\bruch{1}{1-x}. [/mm]
Also gesucht wäre dann die Potenzreihenentwicklung von [mm] g(f(x))=\summe_{n=o}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm] für |x| < 1.
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> Also ich hatte ja grad schon [mm]g(x)=e^{x}.[/mm] Die
> Potenzreihendarstellung ist klar. Aber was mache ich denn
> jetzt wenn ich zwei Funktionen verknüpfen muss und davon
> eine Potenzreihenentwicklung brauche?
>
> z.B. [mm]g(x)=e^{x}[/mm] und [mm]f(x)=\bruch{1}{1-x}.[/mm]
> Also gesucht wäre dann die Potenzreihenentwicklung von
> [mm]g(f(x))=\summe_{n=o}^{\infty}a_{n}x^{n}[/mm] für |x| < 1.
Hallo,
dann machst Du eben die Potenzreihenentwicklung von [mm] g(f(x))=e^{\bruch{1}{1-x}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 22.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Genau da liegt mein Problem!
Ist das dann folgendes?:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{e^{\bruch{1}{1-x}}{n!}}(x-x_{o})^{n}
[/mm]
oder hab ich das falsch gemacht?
(bei [mm] g(x)=e^{x} [/mm] sollte die Potenzreihenentwicklung um [mm] x_{o}=1 [/mm] sein)
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> Ist das dann folgendes?:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{e^{\bruch{1}{1-x}}{n!}(x-x_{o})^{n}[/mm]
>
> oder hab ich das falsch gemacht?
>
> (bei [mm]g(x)=e^{x}[/mm] sollte die Potenzreihenentwicklung um
> [mm]x_{o}=1[/mm] sein)
Hallo, was Du gemacht hast, ist nicht richtig.
Die Taylorreihe für die Funktion [mm] h:=g\circ [/mm] f im Punkt a wäre ja
[mm] P_h(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{h^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n.
[/mm]
> Also gesucht wäre dann die Potenzreihenentwicklung von
> $ [mm] g(f(x))=\summe_{n=o}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm] $ für |x| < 1. ,
also sollst Du im Punkt a=0 entwickeln.
Um die Reihe aufzustellen, brauchst Du die n-ten Ableitungen von [mm] h:=g\circ [/mm] f im Punkt a=0.
Gruß v. Angela
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