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| Aufgabe | a) Beweisen Sie für die Potenzsumme
[mm] S_{n}^{p}:=\summe_{k=0}^{n}k^{p} (n,p\in\IN)
[/mm]
die von Pascel stammende Identität
[mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k} S_{n}^{k} [/mm] = [mm] (n+1)^{p+1}-1 [/mm] |
Hallo allerseits.
Da ist mal wieder eine Übungsaufgabe, und ich komme nicht weiter.
Bin für Tipps und Hinweise sehr dankbar!
Hier kommt mein Ansatz:
Habe erst mal versucht die einzelnen Terme so umzuformen, das ich vielleicht einen Lösungsweg sehe:
[mm] \vektor{p+1 \\ k}=\bruch{(p+1)!}{(p+1-k)!*k!)}=\bruch{(p+1)*p!)}{(p+1-k)(p-k)!k!}=\bruch{p+1}{p+1-k}\vektor{p \\ k}
[/mm]
[mm] (n+1)^{p+1}-1=\summe_{k=0}^{p+1}\vektor{p \\ k}*n^{p+1-k}*1^{k}-1=\summe_{k=0}^{p+1}\vektor{p \\ k}*n^{p+1-k}-1
[/mm]
(gilt nach Binomischem Lehrsatz)
zusammengefasst wäre das:
[mm] \summe_{k=1}^{p}\bruch{p+1}{p+1-k}\vektor{p \\ k} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n}k^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{p+1}\vektor{p \\ k}*n^{p+1-k}-1
[/mm]
Das sieht alles schon sehr ähnlich aus, aber ich komme nicht weiter.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen kann.
Danke, viele Grüße,
Sara
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 07.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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