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| Aufgabe | | zeige: für jede Primzahl p gibt es ganze x,y mit [mm] x^2+y^2+1 \equiv [/mm] 0 mod p |
Hallöchen,
ich bekomme zu der obigen Aufgabe irgendwie keinen richtigen Ansatz. Naja ich weiß ja, dass p=2 oder p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4 bzw p [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4. Baer ich weiß nicht wie mich das wirklich weiter bringen soll. Hat jemand einen Tipp für mich?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Do 15.12.2011 | | Autor: | hippias |
Tip: Nimm an, dass die Behauptung falsch sei. Dann ist insbesondere $-1$ kein Quadrat in $K:= [mm] \IZ_{p}$ [/mm] und auch $p>2$. Jetzt bist Du gefragt: Wenn $G$ die multiplikative Gruppe von $K$ ist, welchen Index hat [mm] $G^{2}$ [/mm] (= die Menge aller Qudrate von $G$) in $G$?
Wenn Du das heraus hast, weisst Du die Ordnung von [mm] $K^{2}= G^{2}\cup\{0\}$. [/mm] Ferner kannst Du Dir mit Hilfe des Indexes klarmachen, dass jetzt $K= [mm] G^{2}\dot{\cup} (-1)G^{2}\dot{\cup} \{0\}$ [/mm] gilt. Folgere daraus, dass [mm] $K^{2}$ [/mm] nicht additiv abgeschlossen sein kann. Die obige Zerlegung von $K$ liefert Dir die gewuenschten Elemente $x$ und $y$.
Man kann auf diese Weise sogar zeigen, dass $K= [mm] K^{2}+ K^{2}$ [/mm] ist. Ein mehr zahlentheoretischer Beweis wuerde mich interessieren.
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