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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:04 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei [mm] A=QR,A\in \IR^{m\times n} [/mm] und [mm] A'=\pmat{A \\ a^{T}}=Q'R',A'\in \IR^{m+1\times n}. [/mm] Zeigen Sie [mm] ||R_{.,i}||_2 \le ||R'_{.,i}||_2,i=1,...,n.
[/mm]
[mm] (R_{.,i} [/mm] bezeichnet die i-te Spalte von R.) |
Die Matrix A ist also zerlegt in eine orthogonale untere Dreiecksmatrix Q und eine obere Dreiecksmatrix R.
Die Matrix A' ist entstanden aus der Matrix A; an diese würde eine zusätzliche Zeile [mm] a^{T} [/mm] angehängt. Die neue QR-Zerlegung dieser Matrix lautet Q'R'.
Soweit habe ich verstanden.
Aber wie zeigt man nun [mm] ||R_{.,i}||_2 \le ||R'_{.,i}||_2??
[/mm]
Wer kann mir helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich nehme mal an, dass [mm] ||.||_2 [/mm] hier die Spektralnorm für Matrizen meint.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Fr 10.12.2010 | | Autor: | max3000 |
Und ich nehme an, dass das die 2-Norm für Vektoren ist.
Sorry aber bei der Aufgabe bin ich überfragt.
Du solltest vielleicht mal in einigen Numerik-Büchern was darüber lesen und dich mehr mit dem Thema vertraut machen.
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> Und ich nehme an, dass das die 2-Norm für Vektoren ist.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") wir haben hier eine Dreiecksmatrix R, mit [mm] \parallel*\parallel_2 [/mm] ist schon die Spektralnorm gemeint....
>
> Sorry aber bei der Aufgabe bin ich überfragt.
ja ich auch
> Du solltest vielleicht mal in einigen Numerik-Büchern was
> darüber lesen und dich mehr mit dem Thema vertraut machen.
Gruß Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Fr 10.12.2010 | | Autor: | max3000 |
> $ [mm] (R_{.,i} [/mm] $ bezeichnet die i-te Spalte von R.)
Darum denke ich es ist die 2-Norm :D.
Ist ja ein Vektor, also brauchen wir auf jeden Fall eine Vektornorm.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
[mm] \pmat{A \\ a^{T}}=\pmat{Q\pmat{R \\ 0} \\ a^{T}}=\pmat{Q & 0 \\ 0 & 1}\pmat{\pmat{R \\ 0} \\ a^{T}} [/mm]
Und damit dann:
[mm] \pmat{Q & 0 \\ 0 & 1}^{T}\pmat{A \\ a^{T}}=\pmat{\pmat{R \\ 0} \\ a^{T}} [/mm]
Gilt nicht, dass [mm] R_{.,i}=Q^{T}*A_{.,i}?
[/mm]
[mm] ||R_{.,i}||_2=||Q^{T}A_{.,i}||_2\le ||Q^{T}||_2*||A_{.,i}||_2\le ||\underbrace{G_n*G_{n-1}*...*G_1}_{Givensrotationsmatr.}\pmat{Q & 0 \\ 0 & 1}^{T}||_2*||\pmat{A_{.,i}\\ a_{.,i}^{T}}||_2=||\underbrace{G_n*G_{n-1}*...*G_1}_{Givensrotationsmatr.}\pmat{\pmat{R \\ 0} \\ a^{T}}||_2=||R'_{.,i}||_2
[/mm]
???
Irgendwas stimmt da offensichtlich hinten und vorne nicht, aber vielleicht inspiriert das ja jemanden!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Fr 10.12.2010 | | Autor: | max3000 |
Les nochmal in deinem Hefter ber Lineare Algebra oder schau hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix
Da steht dass orthogonale Matrizen Normerhaltend sind.
Also gilt [mm] \|QA\|=\|A\|.
[/mm]
Ich denke das wirst du bei dem Beweis brauchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 So 12.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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