Quadratische Ungleichungen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | | [mm] x^2/(3x-5)<4 [/mm] |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe
[mm] x^2/(3x-5) [/mm] < 4
Dort habe ich umgeformt bis
16 > [mm] (x-6)^2
[/mm]
Dort habe ich 2 Probleme:
1) Wenn ich dort die Wurzel ziehe bekomme ich die Lösungen
x1<10 und die Lösung x2<2
Dann habe ich mir den Graphen der Funktion angesehen und germerkt das
das nicht stimmen kann.
Der richtige und vollständige definitionsbereich wäre ja
2<x<10 und x<5/3
nur wie komme ich zu den beiden Lösungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 30.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]x^2/(3x-5)<4[/mm]
> Hallo,
> ich habe folgende Aufgabe
> [mm]x^2/(3x-5)[/mm] < 4
> Dort habe ich umgeformt bis
> 16 > [mm](x-6)^2[/mm]
Hast du auch brav Fallunterscheidungen gemacht, wenn du mit einer Variablen multipliziert hast?
Fange zuerst mit einer Multiplikation mit (3x-5) an, beachte daber die Fälle 3x-5>0 und 3x-5<0 (den Fall 3x-5=0 musst du ja eh ausschliessen)
Also:
[mm] \frac{x^{2}}{3x-5}<4
[/mm]
[mm] \stackrel{3x-5>0}{\Leftrightarrow}x^{2}<12x-20
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \ldots
[/mm]
bzw:
[mm] \frac{x^{2}}{3x-5}<4
[/mm]
[mm] \stackrel{3x-5<0}{\Leftrightarrow}x^{2}>12x-20
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \ldots
[/mm]
>
> Dort habe ich 2 Probleme:
> 1) Wenn ich dort die Wurzel ziehe bekomme ich die
> Lösungen
> x1<10 und die Lösung x2<2
> Dann habe ich mir den Graphen der Funktion angesehen und
> germerkt das
> das nicht stimmen kann.
> Der richtige und vollständige definitionsbereich wäre
> ja
> 2<x<10 und x<5/3
>
> nur wie komme ich zu den beiden Lösungen?
Durch die Fallunterscheidungen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Irgendwie macht das keinen Sinn.
Dann bekomme ich folgende Lösungen
x1>10
x2>2
x3<10
x4<2
Gibt es vielleicht eine kurze und übersichtliche erklärung dazu was mit Fallunterscheidung gemeint ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Einfaches Beispiel:
[mm] \frac{1}{x}<10
[/mm]
[mm] x>0\Rightarrow \frac{1}{10}
[mm] x<0\Rightarrow \frac{1}{10}>x
[/mm]
Beim Multiplizieren mit einer reellen Zahl, die kleiner Null ist, ändert sich die Ungleichung!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Gut das habe ich verstanden.
Aber ich bekomme noch immer die Lösungen von weiter oben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Hier mal ein Bild von meinem Problem:
http://s1.directupload.net/images/131130/2aeaxepj.jpg
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Hallo, zeige ich dir den 1. Fall:
3x-5>0 daraus folgt [mm] x>\bruch{5}{3}
[/mm]
jetzt kommst du an die Stelle
[mm] x^2-12x+20<0
[/mm]
betrachte die quadratische Funktion [mm] f(x)=x^2-12x+20, [/mm] es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen (rechne diese nach) [mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=10, [/mm] somit gilt für 2<x<10 die Ungleichung [mm] x^2-12x+20<0, [/mm] jetzt sind zu vereiningen [mm] x>\bruch{5}{3} [/mm] und 2<x<10, aus dem 1. Fall bekommst du also für die Lösungsmenge: 2<x<10
arbeite jetzt analog den 2. Fall ab
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Vielen Dank!
So macht das endlich mal Sinn.
Eine kleine Frage habe ich aber noch:
Warum heißt es Vereinigungsmenge und nicht Durchschnittsmenge?
Der Lösungbereich muss ja sowohl in der ersten Lösung als auch in den beiden anderen Lösungen sein
oder etwa nicht?
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Hallo, natürlich, für den 1. Fall hast du
[mm] x>\bruch{5}{3}
[/mm]
2<x<10
ergibt ergibt 2<x<10, der Durchnschnitt beider Mengen
ich war vorhin schon gedanklich bei beiden Fällen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Wenn ich das ganze mit quadratischer Ergänzung mache
und x<10 und x>2 erhalte.
Nehme ich dann hiervon auch die Durchschnittsmenge?
um 2<x<10 zu erhalten?
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Hallo Coxy,
> Wenn ich das ganze mit quadratischer Ergänzung mache
> und x<10 und x>2 erhalte.
> Nehme ich dann hiervon auch die Durchschnittsmenge?
> um 2<x<10 zu erhalten?
Zunächst prüfst Du ob die beiden Bedingungen erfüllt werden können.
Werden diese Bedingungen gleichzeitig erfüllt,
dann ist das die Lösungsmenge für diesen Fall.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 So 01.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Das führt mich aber zu einem Problem:
Im 2ten Fall bekomme ich die Lösungen
x>10 und x<2
Meine Grundannahme war ja hierbei [mm] x<\bruch{5}{3}
[/mm]
Was für eine Lösungsmenge bekomme ich denn dann für den 2 Fall?
Ich müsste ja nur noch [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] bekommen (laut Graphen der Funktion).
Aber wie komme ich da hin?
Und warum kann ich hier das x>10 und x<2 auser acht lassen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 So 01.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Okay ich verstehe das [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] und x>10 sich wiedersprechen.
Ich verstehe aber nicht warum [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] und x<2
die Lösungsmenge [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] haben sollte.
Durch das obere Beispiel von Steffi hätte ich vermutet das die Lösungsmenge x<2 wäre
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Hallo Coxy,
> Okay ich verstehe das [mm]x<\bruch{5}{3}[/mm] und x>10 sich
> wiedersprechen.
"wider" ohne ie. Alte deutsche Präposition mit der Bedeutung "entgegen".
> Ich verstehe aber nicht warum [mm]x<\bruch{5}{3}[/mm] und x<2
> die Lösungsmenge [mm]x<\bruch{5}{3}[/mm] haben sollte.
Ordne das mal als Ungleichungskette: [mm] x<\bruch{5}{3}<2.
[/mm]
[mm] x=\bruch{11}{6} [/mm] gehört also nicht in die Lösungsmenge, auch wenn es <2 ist.
> Durch das obere Beispiel von Steffi hätte ich vermutet
> das die Lösungsmenge x<2 wäre
Da gibts nichts zu vermuten. Man kann aber leicht feststellen. Mathematik ist kein Ratespiel.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 01.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Mir ist noch nicht ganz ersichtlich wann ich durschnittsmenge und wann die vereinigungsmenge benutzen muss:
Bei 1 Fall hatten wir die Annahme [mm] x>\bruch{5}{3} [/mm] das heißt beim multiplizieren änder sich das Vorzeichen.
Dann habe ich durch quadratische Ergänzung folgende Lösungen bekommen
10>x und x>2 (da das das negative Ergebnis war habe ich hier das Vorzeichen umgedreht).
Dann habe ich die durchschnitts Menge von 10>x und x>2 und [mm] x>\bruch{5}{3} [/mm] genommen, weil keins sowohl 10>x und x>2 nicht der Annahme wiedersprechen.
Was der Lösungsmenge 2<x<10 entspricht.
Beim 2 Fall hatte ich die Annahme [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] das heißt beim multiplizieren ändert sich das Vorzeichen.
Durch quadratische Ergänzung kam auf x>10 und x<2 (da das das negative Ergebnis war habe ich hier das Vorzeichen umgedreht).
Da x>10 schonmal [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] widerspricht kann es nicht in der Lösungsmenge sein.
x<2 wiederspricht ja nicht der Annahme von [mm] x<\bruch{5}{3}.
[/mm]
Die durchschnitts Lösungsmenge der Beiden ist daher [mm] x<\bruch{5}{3}.
[/mm]
Stimmen meine Begründungen?
Vielen Dank schon mal für zahlreiche und geduldige Hilfe :)
PS: Die komplette Lösungsmenge ist dann die Verinigungsmenge der Lösungsmengen von Fall 1 und Fall 2 d.h.
2<x<10 und [mm] x<\bruch{5}{3}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 So 01.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Mir ist noch nicht ganz ersichtlich wann ich
> durschnittsmenge und wann die vereinigungsmenge benutzen
> muss:
Innerhalb der Fälle musst du die Durchschnittsmenge aus der "Lösung" und der "Fallvoraussetzung" bestimmen, da beide Bedingungen erfüllt werden müssen.
Die Gesamtlösungsmenge ist dann die Vereinigungsmenge aller "Falllösungen"
> Bei 1 Fall hatten wir die Annahme [mm]x>\bruch{5}{3}[/mm] das
> heißt beim multiplizieren änder sich das Vorzeichen.
Nein, hier bleibt es.
Du hast:
[mm] \frac{x^{2}}{3x-5}<4
[/mm]
Nun nehmen wir den Fall 3x-5>0, also [mm] x>\frac{5}{3}
[/mm]
Dann kannst du mit (nach Voraussetzung positivem) 3x-5 multiplizieren, und bekommst:
[mm] x^{2}<12x-20
[/mm]
und damit dann
[mm] x^{2}-12x+20<0
[/mm]
Diese Parabel [mm] x^{2}-12x+20 [/mm] ist nach oben offen, sie liegt also zwischen den Nullstellen unter der x-Achse.
Also hier zwischen 2 und 10.
Die Lösung der Ungleichung [mm] x^{2}-12x+20<0 [/mm] ist also 2<x<10
Da in der Teillösung 2<x<10 auch die Fallvoraussetzung x>5/3 erfüllt ist, führt der erste Fall zur ersten Teillösung 2<x<10
> Dann habe ich durch quadratische Ergänzung folgende
> Lösungen bekommen
> 10>x und x>2 (da das das negative Ergebnis war habe ich
> hier das Vorzeichen umgedreht).
Das ist unklar.
[mm] \frac{x^{2}}{3x-5}<4
[/mm]
Nun nehmen wir den Fall 3x-5<0, also [mm] x<\frac{5}{3}
[/mm]
Dann kannst du mit (nach Voraussetzung negativem) 3x-5 multiplizieren, und bekommst:
[mm] x^{2}>12x-20
[/mm]
das führt wieder zu der Parabel
[mm] x^{2}-12x+20>0
[/mm]
Nun suchst du aber den Bereich, in dem diese oberhalb der x-Achse liegt, das sind die Bereiche außerhalb der Nullstellen, also einerseits x<2 un x>10
Vorausgesetzt war aber x<5/3, daher bleibt nur der Bereich x<5/3 (damit ja auch x<2). Der Bereich 2<x<5/3 erfüllt die Lösungsmenge x<2 nicht, der Fall x>10 die Voraussetzung x<5/3 nicht.
Du bekommst also zwei "Falllösungen", aus Fall 1 das Intervall 2<x<10 und aus Fall 2 das Intervall x<5/3.
Die Gesamtlösung ist nun also die Vereinigung beider Intervalle.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 So 01.12.2013 | | Autor: | Coxy |
Vielen Dank :)
Ich hatte mich nur verschrieben oben: natürlich ändert sich das Vorzeichen nicht.
Aber meine Ergebnisse und mein Weg dorthin stimmen ja.
Vielen Dank nochmal :)
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Das musst Du bei diesem Fall immer im Hinterkopf behalten.
