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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 01.05.2011 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die stationären Punkte und das qualitative Verhalten der Lösungen der Differentialgleichungen
a) $y' = [mm] \sin{(\exp{(x)})}$
[/mm]
Untersuchen Sie insbesondere das Grenzverhalten der Lösung [mm] $\varphi(x)$ [/mm] für $x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] in Abhängigkeit vom Anfangswert. |
Also, für die Bestimmung der stationären Punkte benutze ich einfach die Definition:
[mm] $$\sin{(\exp{(x)})} \overset{!}{=} [/mm] 0$$
Man weiß, dass Sinus in [mm] $\pi\cdot [/mm] n, n [mm] \in \IZ$ [/mm] gleich Null wird und somit vereinfacht sich das Problem bis auf:
[mm] $\exp{(x)} \overset{!}{=} \pi\cdot [/mm] n$
[mm] $\ln{(\exp{(x)})} [/mm] = [mm] \ln{(\pi\cdot n)}, [/mm] n [mm] \in \IZ\backslash\{0\}$, [/mm] da [mm] \exp{(x)} [/mm] nie gleich Null wird.
$x = [mm] \ln{(\pi\cdot n)}, [/mm] n [mm] \in \IZ\backslash\{0\}$
[/mm]
Um das qualitative Verhalten der Lösung zu beschreiben, betrachte ich weiter das Vorzeichen der Funktion auf den Intervallen [mm] $(\pi\cdot [/mm] n; [mm] \pi\cdot [/mm] (n+1)), n [mm] \in \IZ\backslash\{0\}$ [/mm] und ab der Stelle weiß ich nicht, wie es weiter gehen soll, weil die Vorzeichen sehen folgendermaßen aus:
$x [mm] \in (-10\pi; -9\pi) \Rightarrow [/mm] +$
[mm] $\vdots$
[/mm]
$x [mm] \in (-2\pi; -\pi) \Rightarrow [/mm] +$
$x [mm] \in (-\pi; \pi) \Rightarrow [/mm] +$ [mm] ($\varphi(x)$ [/mm] monoton steigend)
$x [mm] \in (\pi; 2\pi) \Rightarrow [/mm] -$ [mm] ($\varphi(x)$ [/mm] monoton fallend)
$x [mm] \in (2\pi; 3\pi) \Rightarrow [/mm] -$
$x [mm] \in (3\pi; 4\pi) \Rightarrow [/mm] +$
$x [mm] \in (4\pi; 5\pi) \Rightarrow [/mm] +$
$x [mm] \in (5\pi; 6\pi) \Rightarrow [/mm] +$
$x [mm] \in (6\pi; 7\pi) \Rightarrow [/mm] +$
$x [mm] \in (7\pi; 8\pi) \Rightarrow [/mm] +$
$x [mm] \in (8\pi; 9\pi) \Rightarrow [/mm] -$
$x [mm] \in (9\pi; 10\pi) \Rightarrow [/mm] +$
$x [mm] \in (10\pi; 11\pi) \Rightarrow [/mm] +$
$x [mm] \in (11\pi; 12\pi) \Rightarrow [/mm] -$
$x [mm] \in (12\pi; 13\pi) \Rightarrow [/mm] +$
$x [mm] \in (13\pi; 14\pi) \Rightarrow [/mm] -$
$x [mm] \in (14\pi; 15\pi) \Rightarrow [/mm] +$
Also, [mm] $\limes_{x\rightarrow -\infty}{\varphi(x)} [/mm] = [mm] +\infty$, [/mm] aber wie sieht's mit dem [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}{\varphi(x)}$ [/mm] aus? Es wird ja, wahrscheinlich auch weiter "springen" und somit kann das Limes gar nicht existieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Fr 13.05.2011 | | Autor: | uliweil |
Hallo GeMir,
hier zunächst ein paar Anmerkungen zu Deinen bisherigen Ausführungen.
> Bestimmen Sie die stationären Punkte und das qualitative
> Verhalten der Lösungen der Differentialgleichungen
>
> a) [mm]y' = \sin{(\exp{(x)})}[/mm]
>
> Untersuchen Sie insbesondere das Grenzverhalten der Lösung
> [mm]\varphi(x)[/mm] für [mm]x \to \pm \infty[/mm] in Abhängigkeit vom
> Anfangswert.
>
>
> Also, für die Bestimmung der stationären Punkte benutze
> ich einfach die Definition:
>
> [mm]\sin{(\exp{(x)})} \overset{!}{=} 0[/mm]
>
> Man weiß, dass Sinus in [mm]\pi\cdot n, n \in \IZ[/mm] gleich Null
> wird und somit vereinfacht sich das Problem bis auf:
>
> [mm]\exp{(x)} \overset{!}{=} \pi\cdot n[/mm]
>
> [mm]\ln{(\exp{(x)})} = \ln{(\pi\cdot n)}, n \in \IZ\backslash\{0\}[/mm],
> da [mm]\exp{(x)}[/mm] nie gleich Null wird.
Nicht nur das! exp wird auch nie negativ. Also n [mm] \in \IN.
[/mm]
>
> [mm]x = \ln{(\pi\cdot n)}, n \in \IZ\backslash\{0\}[/mm]
>
> Um das qualitative Verhalten der Lösung zu beschreiben,
> betrachte ich weiter das Vorzeichen der Funktion auf den
> Intervallen [mm](\pi\cdot n; \pi\cdot (n+1)), n \in \IZ\backslash\{0\}[/mm]
> und ab der Stelle weiß ich nicht, wie es weiter gehen
> soll, weil die Vorzeichen sehen folgendermaßen aus:
>
Ab hier hast Du den Logarithmus vergessen.
Außerdem: Für negative x gibt es keine Nullstellen von y'.
> [mm]x \in (-10\pi; -9\pi) \Rightarrow +[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]x \in (-2\pi; -\pi) \Rightarrow +[/mm]
>
> [mm]x \in (-\pi; \pi) \Rightarrow +[/mm] ([mm]\varphi(x)[/mm] monoton
> steigend)
>
> [mm]x \in (\pi; 2\pi) \Rightarrow -[/mm] ([mm]\varphi(x)[/mm] monoton
> fallend)
> [mm]x \in (2\pi; 3\pi) \Rightarrow -[/mm]
> [mm]x \in (3\pi; 4\pi) \Rightarrow +[/mm]
>
> [mm]x \in (4\pi; 5\pi) \Rightarrow +[/mm]
> [mm]x \in (5\pi; 6\pi) \Rightarrow +[/mm]
>
> [mm]x \in (6\pi; 7\pi) \Rightarrow +[/mm]
> [mm]x \in (7\pi; 8\pi) \Rightarrow +[/mm]
>
> [mm]x \in (8\pi; 9\pi) \Rightarrow -[/mm]
> [mm]x \in (9\pi; 10\pi) \Rightarrow +[/mm]
>
> [mm]x \in (10\pi; 11\pi) \Rightarrow +[/mm]
> [mm]x \in (11\pi; 12\pi) \Rightarrow -[/mm]
>
> [mm]x \in (12\pi; 13\pi) \Rightarrow +[/mm]
> [mm]x \in (13\pi; 14\pi) \Rightarrow -[/mm]
>
> [mm]x \in (14\pi; 15\pi) \Rightarrow +[/mm]
>
> Also, [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}{\varphi(x)} = +\infty[/mm],
Nein, siehe oben. Überlege was exp für x gegen - [mm] \infty [/mm] macht.
> aber wie sieht's mit dem
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}{\varphi(x)}[/mm] aus? Es wird ja,
> wahrscheinlich auch weiter "springen" und somit kann das
> Limes gar nicht existieren?
Trotz des "Springens" kann es einen Grenzwert geben. Schließlich konvergiert beispielsweise die Funktion sin(x) / x gegen Null, wenn x gegen Unendlich geht und die springt auch.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
Uli
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