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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rang von [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
in Abhängigkeit der reellen Zahlen a,b,c,d
(wann hat die Matrix Rang 2, wann Rang 1 und wann Rang 0)? |
Habe für eine Heimübung diese Aufgabe bekommen und sie wirkt wie ich finde recht leicht , aber wäre lieb wenn ihr noch einen Blick auf meine Argumentation werft:
A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] rg A = 1 Da der Rang nicht voll ist sind die Zeilen linear abhängig und die Matrix ist durch den nicht vollen Rang nicht invertierbar [mm] \Rightarrow [/mm] det A = 0
Somit haben wir also [mm] a\*d -b\*c=0 \gdw a\*d=b\*c
[/mm]
Ferner gilt: [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] zu Zeile 1 addieren wir [mm] k\*Z2 [/mm] . k [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ a+kc & b+kd \\ c & d } \Rightarrow \pmat{ 0 & 0 \\ c & d } \Rightarrow [/mm] a+kc=0 & b+kd= 0 . Also damit der Rang 1 sein kann muss gelten [mm] a\*d -b\*c=0 [/mm] und [mm] \exists [/mm] ein Faktor k mit a+kc=0 und b+kd=0 . Muss ich da überhaupt mehr machen?
Rang 0: Ja was soll man hier sagen , eine Matrix hat Rang 0 wenn sie die Nullmatrix ist , also [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow [/mm] a=b=c=d=0. Wäre ich fertig oder benötigt es mehr?
Rang 2: Würde ich mit dem K Faktor argumentieren das es diesen nicht gibt und die Zeilen somit linear unabhänig sind .. außerdem würde gelten [mm] a*d-b*c\not=0
[/mm]
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