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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:51 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | [mm] $G\subset\IC$ [/mm] Gebiet, [mm] $I:=G\cap\IR\neq\emptyset$, $f:G\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph. Zeige:
[mm] $\mathrm{Re}(f)|_{I:=G\cap\IR}$ [/mm] ist reell analytisch |
Hallo an alle,
wenn ich mich nicht irre, muss ich, um die Aussage nachzuweisen, zeigen, dass sich [mm] $\mathrm{Re(f)}$ [/mm] in jedem Punkt in $I$ in eine konvergente Potenzreihe entwickeln lässt. Aber das folgt doch direkt aus dem Potenzreihenentwicklungssatz, oder? Dieser war:
Potenzreihenentwicklungssatz:
[mm] $U\subset\IC$ [/mm] offen, [mm] $f:U\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph, [mm] $\rho>0$ [/mm] so dass
[mm] $\{z\mid |z-z_0|<\rho\}\subset [/mm] U$
Dann gibt es genau eine Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$, [/mm] die in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] mit $f$ übereinstimmt, d.h.
[mm] $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n\quad\forall\,z\in B_{\rho}(z_0)$
[/mm]
wobei
[mm] $c_n:=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz$, $0
Ich möchte nun diesen Satz anwenden. Dazu betrachten wir: [mm] $U:=I=G\cap\IR\neq\emptyset$, $f:I\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph (da [mm] $I\subset [/mm] G$ und [mm] $f:G\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph), [mm] $z_0\in [/mm] I$ beliebig, [mm] $\rho>0$ [/mm] mit
[mm] $\{z\mid |z-z_0|<\rho\}\subset [/mm] I$
Dann gilt nach dem Potenzreihenentwicklungssatz
[mm] $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n\quad\forall\,z\in ]z_0-\rho,z_0+\rho[$
[/mm]
Aber wie erhalte ich daraus eine Potenzreihenentwicklung für [mm] $\mathrm{Re}(f)$? [/mm] Ist mein Ansatz falsch?
Danke und Gruß
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Hallo,
ganz so einfach ist die Aufgabe wohl nicht zu lösen (wie Du ja schon vermutest):
1. Deine Potenzreihe soll reell sein, d.h. sie muss reelle Koefizienten enthalten. Der von Dir zitierte Satz liefert aber "nur" komplexe Koeffizienten
2.
> [mm]G\subset\IC[/mm] Gebiet, [mm]I:=G\cap\IR\neq\emptyset[/mm],
> [mm]f:G\rightarrow\IC[/mm] holomorph. Zeige:
>
> [mm]\mathrm{Re}(f)|_{I:=G\cap\IR}[/mm] ist reell analytisch
> Hallo an alle,
>
> wenn ich mich nicht irre, muss ich, um die Aussage
> nachzuweisen, zeigen, dass sich [mm]\mathrm{Re(f)}[/mm] in jedem
> Punkt in [mm]I[/mm] in eine konvergente Potenzreihe entwickeln
> lässt. Aber das folgt doch direkt aus dem
> Potenzreihenentwicklungssatz, oder? Dieser war:
>
> Potenzreihenentwicklungssatz:
> [mm]U\subset\IC[/mm] offen, [mm]f:U\rightarrow\IC[/mm] holomorph, [mm]\rho>0[/mm] so
> dass
> [mm]\{z\mid |z-z_0|<\rho\}\subset U[/mm]
> Dann gibt es genau
> eine Potenzreihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n[/mm], die in
> einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] mit [mm]f[/mm] übereinstimmt, d.h.
>
> [mm]f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n\quad\forall\,z\in B_{\rho}(z_0)[/mm]
>
> wobei
> [mm]c_n:=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz[/mm],
> [mm]0
>
> Ich möchte nun diesen Satz anwenden. Dazu betrachten wir:
> [mm]U:=I=G\cap\IR\neq\emptyset[/mm],
I ist nicht offen in [mm] \IC, [/mm] also kannst Du den Satz nicht direkt auf I anwenden.
Gruß Korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
> ganz so einfach ist die Aufgabe wohl nicht zu lösen (wie
> Du ja schon vermutest):
> 1. Deine Potenzreihe soll reell sein, d.h. sie muss reelle
> Koefizienten enthalten. Der von Dir zitierte Satz liefert
> aber "nur" komplexe Koeffizienten
Ach ja, sehe ich ein
> 2.
> I ist nicht offen in [mm]\IC,[/mm] also kannst Du den Satz nicht
> direkt auf I anwenden.
Was muss ich an stattdessen tun?
> Gruß Korbinian
Danke und Gruss
Denny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x_0 \in [/mm] I. Dann gibt es ein r>0 mit
[mm] B_r(x_0) \subseteq [/mm] G
und es gibt eine Folge [mm] (c_n) [/mm] in [mm] \IC [/mm] mit
$f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n(z-x_0)^n$ [/mm] für $z [mm] \in B_r(x_0)$
[/mm]
Für [mm] $f_{|_I}$ [/mm] gilt dann
[mm] $f_{|_I}(x) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n$ [/mm] für $x [mm] \in (x_0-r, x_0+r)$
[/mm]
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] Re(c_n), [/mm] so gilt
[mm] $Re(f)_{|_I}(x) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ [/mm] für $x [mm] \in (x_0-r, x_0+r)$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Fred, herzlichen Dank. Das hat mir wirklich weitergeholfen.
Lieben Gruss
Denny
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