Reihen/Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n: Summenzeichen [mm] \bruch{k}{2^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+1}-n-2}{2^{n}} [/mm] |
also,
in erster linie habe ich überhaupt keine ahnung was der aufgabensteller da von mir will...soll ich links nun mehrere zahlen einsetzen und zeigen, dass rechts der wert genauso groß ist ? bestimmt nicht....denn er sagt ja, zeige für ALLE...
außerdem habe ich mal auf beiden seiten für die variabele, den gleichen wert eingesetzt und herausgefunden, dass es garnicht gleich ist ??!?
was genau muss ich da machen ?
gruß smuji
|
|
| |
|
Hallo,
also wollen wir erstmal die Gleichung richtig notieren:
[mm] \sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}
[/mm]
So, nehmen wir mal n=1:
LHS: [mm] \sum_{k=1}^1\frac{k}{2^k}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}
[/mm]
RHS: [mm] \frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}=\frac{2^{1+1}-1-2}{2^1}=\frac{4-1-2}{2}=\frac{1}{2}
[/mm]
Wir sehen also: für n=1 stimmt die Gleichung schon einmal.
Jetzt könntest du die Gleichung doch mal induktiv beweisen. Den Induktionsanfang habe ich bereits gemacht. Nun probier es mal mit Hilfe der Behauptung den Übergang [mm] n\to{n+1} [/mm] durchzuführen.
Wenn du mal etwas allgemeiner das ganze haben willst, dann versuche einmal diese an die geometrische Reihe angelehnte Formel zu beweisen:
[mm] \sum_{k=0}^nk*q^k=\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2}
[/mm]
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 08.07.2014 | | Autor: | Smuji |
vielen dank, aber ich habe keine ahnung wie ich sowas beweise.... ich schaue schon die ganze zeit in youtube nach videos, nur findei ch da nichts genaues...
also, es wird ja nicht sinn der aufgabe sein, nun jeden wert bis unendlich dort zusetzen....also muss es ja eine allgemeine "art formel" geben....
das ist wahrscheinlich das, was du mit induktiv beweisen meinst....
also soll ich einfach für k --> k+1 einsetzen und für n --> n+1 ?
und dann nach irgendwas auflösen ?wenn ja, nach was ?
$ [mm] \sum_{k=1}^n\frac{k+1}{2^k+1}=\frac{2^{n+2}-n-1}{2^n+1} [/mm] $
so ?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
Hallo,
mit "induktiv" ist diese grundlegende Beweismethode gemeint:
https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> vielen dank, aber ich habe keine ahnung wie ich sowas
> beweise.... ich schaue schon die ganze zeit in youtube nach
> videos, nur findei ch da nichts genaues...
>
> also, es wird ja nicht sinn der aufgabe sein, nun jeden
> wert bis unendlich dort zusetzen....also muss es ja eine
> allgemeine "art formel" geben....
>
> das ist wahrscheinlich das, was du mit induktiv beweisen
> meinst....
>
> also soll ich einfach für k --> k+1 einsetzen und für n
> --> n+1 ?
>
> und dann nach irgendwas auflösen ?wenn ja, nach was ?
>
>
> [mm]\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{2^k+1}=\frac{2^{n+2}-n-1}{2^n+1}[/mm]
>
>
> so ?
Nein !
(*) $ [mm] \sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} [/mm] $
Wir wollen zeigen, dass (*) für jedes n [mm] \in \IN [/mm] richtig ist.
Das macht man in folgenden Schritten:
1. Zeige, dass (*) für n=1 richtig ist.
2. Nimm an, (*) sei für ein festes n [mm] \in \IN [/mm] richtig. Zeige damit, dass (*) auch für n+1 richtig ist, dass also gilt
$ [mm] \sum_{k=1}^{n+1}\frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+2}-(n+1)-2}{2^{n+1}} [/mm] $
FRED
>
>
> gruß smuji
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Di 08.07.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
schau dir ruhig mal folgendes an:
http://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
|
|
|
|
