Rekursionsformel für Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Do 19.01.2006 | | Autor: | smee |
| Aufgabe | Man zeige durch partielle Integration, dass für n >= 2 die folgende Rekursionsgleichung gilt:
[mm]\int~sin^{n} x~dx = -\frac{1}{n}sin^{n-1}x cos x + \frac{n-1}{n}*\int~sin^{n-2} x~dx[/mm] |
Halloli!
Ich zermartere mir nun schon einige Zeit das Hirn darüber, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Klar ist, dass man etwa wie folgt umschreiben kann:
[mm]\int~sin^{n} x~dx = \int~sin^{n-1} x * sin x~dx[/mm]
... nur kenne ich für [mm]sin^{n-1} x[/mm] weder eine Ableitung, noch eine Stammfunktion, kann also nicht so ohne weiteres partiell integrieren.
Außerdem frage ich mich sowieso, wie ich bei der Formel das n ins Spiel bringen soll 
Ich kann das Integral ja nun schreiben als:
[mm]\int~sin^{n} x~dx = \int~sin^{n-1} x~dx * sin x - \int~cos x *(\int~sin^{n-1} x~dx)~dx[/mm]
und die verbleibenden Integrale genauso integrieren. Wenn ich die dann oben wieder einsetze, kommt ein ewig langer Term raus, der mir leider kein bisschen weiterhilft ...
Kann ich diese Rekursion vielleicht irgendwie als "Produkt mit Index" zusammenfassen?! Oder bin ich gar völlig auf dem Holzweg? 
Mit "Produkt mit Index" meine ich eigentlich nur das Produktzeichen:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] ... das mir dann durch Umformungen erlaubt, das "n ins Spiel" zu bringen?
Meine Gedanken sind gerade etwas verworren, und ich hoffe, ich habe nicht zuviel Unsinn geschrieben
Gruß,
Carsten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Do 19.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Smee.
> Ich zermartere mir nun schon einige Zeit das Hirn darüber, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Klar ist, dass man etwa wie folgt umschreiben kann:
> $ [mm] \int~sin^{n} [/mm] x~dx = [mm] \int~sin^{n-1} [/mm] x [mm] \cdot{} [/mm] sin x~dx $
Ja, das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ... nur kenne ich für $ [mm] sin^{n-1} [/mm] x $ weder eine Ableitung, noch eine Stammfunktion, kann also nicht so ohne weiteres partiell integrieren.
Doch, die Ableitung kennst du doch. Es ist [mm] $(sin^{n-1})'(x)=(n-1)\cos(x)\sin^{n-2}(x)$. [/mm]
Partielle Integration liefert also
[mm] $\int \sin(x)\sin^{n-1}(x)\ [/mm] dx = [mm] -\cos(x)\sin^{n-1}(x) [/mm] + [mm] (n-1)\int\cos^2(x)\sin^{n-2}(x)\ [/mm] dx$.
Setze nun [mm] $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ [/mm] ein und integriere erneut partiell. Du erhältst dann eine Gleichung, die du nach [mm] $\int \sin^{n}(x)\ [/mm] dx$ umstellen kannst.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Do 19.01.2006 | | Autor: | smee |
Das war ja eine superschnelle Antwort!
Vielen Dank!
Ich mach' mich dann mal ans Werk ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 01.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
soll man dann nur das Integral [mm] \integral_{}^{}{sin^{n-2}(x) dx} [/mm] partiell integrieren?
Ich meine, wenn man die Substitution [mm] cos^{2}(x)=1-sin^{2}(x) [/mm] macht,
kann man den Integranden offensichtlich in zwei Integranden aufteilen. Eins davon ist [mm] \integral_{}^{}{sin^{n}(x) dx} [/mm] und das andere ist [mm] \integral_{}^{}{sin^{n-2}(x) dx} [/mm] . Also das letzte Integral nochmal partiell integrieren?
Danke und Gruss!
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo,
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> soll man dann nur das Integral [mm]\integral_{}^{}{sin^{n-2}(x) dx}[/mm]
> partiell integrieren?
> Ich meine, wenn man die Substitution
> [mm]cos^{2}(x)=1-sin^{2}(x)[/mm] macht,
> kann man den Integranden offensichtlich in zwei
> Integranden aufteilen. Eins davon ist
> [mm]\integral_{}^{}{sin^{n}(x) dx}[/mm] und das andere ist
> [mm]\integral_{}^{}{sin^{n-2}(x) dx}[/mm] . Also das letzte Integral
> nochmal partiell integrieren?
Nein, denn damit hast Du ja schon die geforderte Rekursionsformel gezeigt.
>
> Danke und Gruss!
> Igor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 So 01.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo MathePower,
was soll man also partiell integrieren, denn im zweiten posting steht, dass man [mm] cos^{2} [/mm] durch [mm] 1-sin^{2} [/mm] substituieren soll und dann partiell integriern soll.
Was wird partiell integriert?
Danke und Gruss!
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo MathePower,
>
> was soll man also partiell integrieren, denn im zweiten
> posting steht, dass man [mm]cos^{2}[/mm] durch [mm]1-sin^{2}[/mm]
> substituieren soll und dann partiell integriern soll.
>
> Was wird partiell integriert?
Nun, partiell integrieren ist zuviel gesagt.
Hier wird nur [mm]cos^{2}[/mm] durch [mm]1-sin^{2}[/mm] ersetzt,
und dann das entstehende Integral entsprechend umgeformt.
>
> Danke und Gruss!
> Igor
>
Gruss
MathePower
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