Riemann-/Lebesgue-Integrierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch:
[mm] f(x,y):=\begin{cases} \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & \mbox{falls } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Limites [mm] lim_{t\mapsto0}f(t,0) [/mm] und [mm] lim_{t\mapsto0}f(t,t)
[/mm]
Ist f in [mm] \IR^2 [/mm] stetig?
b) Zeigen Sie, dass x -> f(x,y) Riemann- und Lebesgue-integrierbar in [0,1] ist für alle y [mm] \in [/mm] (0,1) |
Hallo,
ich bräuchte dringend Hilfe bei dieser Aufgabe!
a) [mm] lim_{t\mapsto0}f(t,0)=lim_{t\mapsto0}\bruch{t^2}{t^4} [/mm] = [mm] lim_{t\mapsto0}\bruch{1}{t^2} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] lim_{t\mapsto0}f(t,t)= lim_{t\mapsto0}\bruch{0}{4t^4}=0 [/mm] ?
Wie bestimme ich , ob eine Funktion mit zwei Variablen stetig ist?
b) Hier verstehe ich auch nicht , wie ich vorgehen soll, wenn ich zwei Variablen habe. Soll ich zuerst nach x und dann nach y integrieren?
Gruß
Marty
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Wie du die Stetigkeit einer Funktion bestimmst, hast du in der Vorlesung gelernt. Dabei hast du mit Sicherheit gesehen, dass alle Polynome stetig sind und Quotienten von Polynomem dort stetig sind, wo der Nenner nicht verschwindet. Die angegebene Funktion ist nicht stetig, wie aus deiner Frage selbst hervorgeht: In $0$ ist die Funktion unstetig, weil zwei verschiedene Folgen, die gegen $0$ konvergieren zwei verschd. Grenzwerte haben. Zu b) fixiere ein beliebiges $y$ (natuerlich nur gedanklich). Du erhaelst eine Funktion in $x$, die auf dem gesamten Intervall $[0,1]$ beschraenkt ist: die Nennerfunktion wird niemals $0$!). Das bedeutet, die Funktion ist stetig im Intervall $(0,1]$ mit Unstetigkeitsstelle in $x=0$. Fuer die Lebesgueintegrierbarkeit reicht diese Information voellig aus, da die Menge der Diskontinuitaeten somit eine Nullmenge ist. Aendert6 man diese ab, aendert sich der Wert des Integrals nicht. Fazit: Das Integral von $f$ stimmt mit der stetig in $0$ fortgesetzten Funktion von $f$ ueberein! $f$ ist aber auch Riemannintegrierbar: Im Prinzip sind alle stueckweise stetigen beschraenkten Funktionen riemannintegrierbar (Treppenfunktionen z.B.). Der Beweis dafuer allgemeine stckws. stetigen +beschraenkten Fktn. ist ganz analog.
So, das war viel Gerede um wenig Inhalt. Beim Aufschreiben solltest du darauf achten, die Voraussetzungen explizit zu formulieren und deine Argumentation auf diese zu stuetzen, so wie ich es gerade etwas prosaisch getan habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 18.11.2007 | | Autor: | Marty |
Hallo,
ich habe mal versucht das so umzusetzen:
b)
> Wie du die Stetigkeit einer Funktion bestimmst, hast du in
> der Vorlesung gelernt. Dabei hast du mit Sicherheit
> gesehen, dass alle Polynome stetig sind und Quotienten von
> Polynomem dort stetig sind, wo der Nenner nicht
> verschwindet. Die angegebene Funktion ist nicht stetig, wie
> aus deiner Frage selbst hervorgeht: In [mm]0[/mm] ist die Funktion
> unstetig, weil zwei verschiedene Folgen, die gegen [mm]0[/mm]
> konvergieren zwei verschd. Grenzwerte haben.
a)Ich untersuche, wo der Nenner Null wird:
[mm] (x^2+y^2)^2=0
[/mm]
->f ist stetig außer im Punkt x=0
> Zu b) fixiere
> ein beliebiges [mm]y[/mm] (natuerlich nur gedanklich).
Also mache ich die Annahme, dass y eine Konstante ist?
-> f(x) ist im Intervall [0,1] beschränkt, da der Nenner nicht Null wird.
-> Argumentation wie in a): f ist stetig außer in x=0
-> f ist lebesgueintegrierbar, da f stetig fortsetzbar, ohne, dass sich das Integral ändert.
Habe ich das bisher richtig verstanden?
> Du erhaelst
> eine Funktion in [mm]x[/mm], die auf dem gesamten Intervall [mm][0,1][/mm]
> beschraenkt ist: die Nennerfunktion wird niemals [mm]0[/mm]!). Das
> bedeutet, die Funktion ist stetig im Intervall [mm](0,1][/mm] mit
> Unstetigkeitsstelle in [mm]x=0[/mm]. Fuer die
> Lebesgueintegrierbarkeit reicht diese Information voellig
> aus, da die Menge der Diskontinuitaeten somit eine
> Nullmenge ist. Aendert6 man diese ab, aendert sich der Wert
> des Integrals nicht. Fazit: Das Integral von [mm]f[/mm] stimmt mit
> der stetig in [mm]0[/mm] fortgesetzten Funktion von [mm]f[/mm] ueberein! [mm]f[/mm]
> ist aber auch Riemannintegrierbar: Im Prinzip sind alle
> stueckweise stetigen beschraenkten Funktionen
> riemannintegrierbar (Treppenfunktionen z.B.). Der Beweis
> dafuer allgemeine stckws. stetigen +beschraenkten Fktn. ist
> ganz analog.
Ich soll also genauso zeigen, dass f riemannintegrierbar ist?:
f ist stetig außer in x=0 -> stetig fortsetzbar
f ist beschränkt im Intervall [0,1]
Aber wo ist in diesem Fall der Unterschied zwischen Riemann- und Lebesgueintegrierbarkeit?
Kann sich noch bitte jemand ansehen, ob meine Grenzwerte in der Teilaufgabe a) stimmen?
Gruß
Marty
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(A) Die Grenzwerte sind O.K. Das bedeutet aber, dass $f$ in $(0,0)$ NICHT stetig ist. Die Stetigkeit gilt dagegen dort, wo der nennerterm nicht verschwindet.
(B) In diesem Fall gibt es keinen Unterschied zwischen Riemann-und Lebesgueintegrierbarkeit. An deiner Stelle wuerde ich das Szenario (Diskontinuitaet in der Intervallgrenze) mal auf Riemannintegrierbarkeit ueberpruefen, indem du eine Folge von Riemannsumme auf Konvergenz untersuchst. Das Problem ist, dass du bei jeder Partition von $[0,1]$ ganz links nahe $0$ entscheiden musst, welchen Wert [mm] $f(\xi_1)$ [/mm] du zulassen willst (Hier gilt ene wichtige Voraussetzung fuer den Beweis, dass stetige + beschraenkte Funktionen Riemannintbar sind nicht mehr). Du kannst allerdings folgendes beweisen: egal welchen Wert ich in die Riemannsumme einbaue der Inhalt des Rechtecks am aeusseren linken Rand geht immer gegen $0$ und kann somit bei der Grenzwertbildung vernachlaessigt werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 18.11.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | | c) Geben Sie [mm] F_2 (y):=\integral_{0}^{1}{f(x,y) dx} [/mm] für y [mm] \in [/mm] (0,1) an. |
Jetzt mach mir noch diese Teilaufgabe Probleme, obwohl sie gar nicht so schwer aussieht...
mit der Partialbruchzerlegung bin ich immerhin soweit gekommen:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2+y^2)} dx}-\integral_{0}^{1}{\bruch{2y^2}{(x^2+y^2)^2} dx} [/mm] = [mm] [\bruch{1}{y} arctan(\bruch{x}{y})]_{0}^{1}-2y^2\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2+y^2)^2} dx}
[/mm]
Hier komme ich einfach nichtmehr weiter.
Hat jemand eine Idee, wie ich hier substituieren könnte?
Gruß
Marty
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Der erste Term sieht gut aus, habe es aber nicht genau ueberprueft. Im zweiten Term versuch mal [mm] $y^2$ [/mm] auszuklammern. Dann erhaelst du einen Bruch [mm] $(x/y)^2$, [/mm] den du substituierst mit $s=x/y$. Das sollte dann im Prinzip das Quadrat der Ableitung vom [mm] $\arctan$ [/mm] sein. Hier kannst du es weiter mit partieller Ableitung probieren...
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