Riemannsche Summen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe 2 (Riemannsche Summen)
Berechnen Sie das Integral
[mm] \integral_{1}^{a}{ln(x) dx}
[/mm]
mittels Riemannscher Summen.
Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung
1 = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < . . . < [mm] x_n [/mm] = a
mit [mm] x_k [/mm] = [mm] a^{k/n}, \delta_k=x_{k-1}, [/mm] k = 0, ... , n
|
hi
bräuchte einen Hinweis zur obigen Aufgabe.
zunächst unsere Definition der Rimannschen Summe von f
f:[a,b] -> [mm] \IR, [/mm] Z: a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n [/mm] = b, [mm] \delta_k \in [x_{k-1}, x_k], [/mm] k = 1, ..., n
[mm] S_Z [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} f(\delta_k) (x_k [/mm] - [mm] x_{k-1})
[/mm]
Soweit so gut. Ich hab ja alles oben gegeben.
Also für die Aufgabe folgt:
[mm] S_Z [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} ln(a^{(k-1)/n}) (a^{k/n} [/mm] - [mm] a^{(k-1)/n})
[/mm]
Wenn ich jetzt die zerlegung ganz klein wähle, also n gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse, und vorher umstelle, bleibt
[mm] S_Z [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} ln(a^{(k-1)/n}) (a^{k/n}(1 [/mm] - [mm] a^{(-1)/n}))
[/mm]
= (1 - [mm] a^{(-1)/n}) \summe_{k=1}^{n} ln(a^{(k-1)/n}) (a^{k/n})
[/mm]
und dadurch 0 * die Summe. Da dass ja quark wäre, denke ich dass dadurch folgen würde:
[mm] \summe_{k=1}^{n} ln(a^{(k-1)/n}) (a^{k/n}) [/mm] , für n [mm] ->\infty
[/mm]
aber wie bekomme ich denn jetzt einen vernünftigen Wert abhängig von a heraus?
Lieben Gruß Guido
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Mi 07.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nur ein paar Tips:
1. die [mm] x_k [/mm] sind so gewählt, weil man dann die log-Gesetzt benutzen kann :
[mm] lna^b=b*lna
[/mm]
2. [mm] k*a^{k/n} [/mm] kann man schreiben als : [mm] k*b^k [/mm] mit b=a^(1/n)
Summe über [mm] n*q^n [/mm] gibts Formeln oder kann man rauskriegen.
3. Natürlich hängt die Summe von a ab.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
herzlichen Dank für die hinweise.
bis ich zur lösung komme muss ich leider jetzt noch die summe über [mm] n*x^n [/mm] heraus finden. finde leider nur welche für -1<x<1 ... aber [mm] a^{1/n} [/mm] ist bei mir ja >1, da es zwischen 1 und a liegt. den rest hab ich rausgezogen aus der summe, wodurch es natürlichleicht u berechnen ist.
Lieben Gruß Guido
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mi 07.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch nur die Summe bis n, die muss noch nicht konvergieren, erst mit den anderen Teilen (1/n) bor der Summe!
also schreib erstmal alles zusammen, bei Produkten kann man ja nicht erwarten, dass jes Teil einzeln konvergiert.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Fr 09.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
