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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:29 Di 28.11.2006 | | Autor: | Mini273 |
| Aufgabe | Sei [mm] C^{0}(\IR) [/mm] die Menge der stetigen Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] und für x [mm] \in \IR [/mm] sei I(x) := { f [mm] \in C^{0}(\IR) [/mm] | f(x) = 0} die Menge der stetigen Funktionen, die bei x den Wert 0 annehmen.
(i) Zeige, dass [mm] C^{0}(\IR) [/mm] ein kommutativer Ring ist, wobei die Addition durch (f+g)(x) = f(x) + g(x) und die Multipliaktion durch (f*g)(x) = f(x)g(x) geg. ist.
(ii) Ist [mm] C^{0}(\IR) [/mm] ein Integritätsbereich?
(iii) Zeige, dass I(x) ein Ideal ist und dass für jedes weitere Ideal J [mm] \supseteq [/mm] I(x) gilt J = I(x) oder J = [mm] C^{0}(\IR). [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen, mir ist manches unklar, wie ich das zeigen soll.
Bei der (i) hab ich einfach für [mm] (C^{0}(\IR), [/mm] +) gezeigt, dass es eine abelsche Gruppe ist und hab folgende Eigenschaften nachgewiesen:
- Assoziativität: ((f+g)+h)(x) = (f+(g+h))(x)
- Kommutativiät: (f+g)(x) = (g+f)(x)
- Existenz eines neutralen Elementes: Seien f,g [mm] \in C^{0}(\IR) [/mm] mit g = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR. [/mm] Dann(f+0) (x) = f(x) + 0(x) = f(x)
Stimmt das so?
-Existenz eines Inversen: Seien f,g [mm] \in C^{0}(\IR), [/mm] und g:= -f
Dann ist (f+g)(x) = (f+ (-f)) (x) = f(x) + (-f)(x) = f(x) - f(x) = 0
Stimmt das so? Ich bin mir hier und beim neutralen Element nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe.
Damit das ein komm. Ring wird, hab ich dann noch nachgewiesen, dass [mm] (C^{0}(\IR), \times) [/mm] assoziativ und kommutativ ist bzgl. [mm] \times, [/mm] und dass ein neutrales Element existiert:
Letzteres hab ich so bewiesen: Def. g:= [mm] f^{-1}, [/mm]
Dann f(x) * [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] (f*f^{-1})(x) [/mm] = (id)(x) = x
Also ist [mm] f^{-1} [/mm] die Umkehrabb. von f. Diese existiert, da f stetig ist.
Stimmt das so? Da bin ich sehr unsicher....
(ii) Hier muss ich doch zeigen, dass [mm] C^{0}(\IR) [/mm] nicht der Nullring ist und dass es keinen Nullteiler hat. Ich weiß nicht, wie man zeigt, dass [mm] C^{0}(\IR) \not= [/mm] Nullring ist. Kann mir da jemand bitte helfen? 
Beim Nullteiler komm ich auch nicht weit:
Seien f,g [mm] \in C^{0}(\IR). [/mm] Wenn (f*g)(x) = f(x) * g(x) = 0 ist, dann muss doch gelten f(x) = 0 oder g(x) = 0. Aber wie kann ich das zeigen?
(iii) Z.Z: I(x) ist Ideal.
I(x) ist eine Untergruppe von [mm] C^{0}(\IR), [/mm] denn für f,g [mm] \in [/mm] I(x) ist [mm] (fg^{-1})(x) [/mm] = f(x) [mm] g^{-1}(x) [/mm] = 0 * [mm] g^{-1}(x) [/mm] = 0
Sei f [mm] \in [/mm] I(x), h [mm] \in C^{0}(\IR). [/mm] Z.z: fh [mm] \in [/mm] I(x)
(fh)(x) = f(x) h(x) = 0 * h(x) = 0 *h(x) = 0 [mm] \in [/mm] I(x)
Also ist I(x) Ideal.
Stimmt das so?
Wie kann ich den 2.Teil zeigen, dass für jedes weitere Ideal J [mm] \supseteq [/mm] I(x) J = I(x) oder J = [mm] C^{0}(\IR) [/mm] gilt?
Ich würd mich freuen, wenn mir jemand da einen Tipp geben könnte und mich bei den anderen Teilaufgaben korrigieren würde, wenn ich was falsch gemacht habe.
Viele Dank!
Liebe Grüße,
Mini273
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Hallo Mini273,
bis zur Ex. eines Einselements OK.
> Letzteres hab ich so bewiesen: Def. g:= [mm]f^{-1},[/mm]
Nein! Was bedeutet denn Einselement? Nichts weiter, als daß es jedes Element unverändert läßt.
Spielt zwar hier eigentlich keine Rolle; aber nimm die Funktion [mm] $f(x)=1+x^2$. [/mm] Ist [mm] $g(x)=1/(1+x^2)$ [/mm] wirklich *auf ganz [mm] $\IR$* [/mm] stetig? Auf jedenfall konvergiert die Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k}x^{2k}$ [/mm] z.B. nicht für [mm] $x=\pm [/mm] 1$.
>
> (ii) Hier muss ich doch zeigen, dass [mm]C^{0}(\IR)[/mm] nicht der
> Nullring ist und dass es keinen Nullteiler hat. Ich weiß
> nicht, wie man zeigt, dass [mm]C^{0}(\IR) \not=[/mm] Nullring ist.
Na, da hast Du doch Auswahl ohne Ende ; gib einfach irgendein Beispiel einer überall stetigen Funktion an, die *nicht* überall =0 ist.
> Beim Nullteiler komm ich auch nicht weit:
> Seien f,g [mm]\in C^{0}(\IR).[/mm] Wenn (f*g)(x) = f(x) * g(x) = 0
> ist, dann muss doch gelten f(x) = 0 oder g(x) = 0. Aber wie
> kann ich das zeigen?
Analysis ist nicht gerade meine Stärke . Vielleicht fällt jemandem anders ein Beispiel für "Nullteiler" in [mm] $C^0(\IR)$ [/mm] ein.
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo zahlenspieler,
Ich bearbeite dieselbe wie Mini273
Ich hab bloß nicht alles nachvollziehen können, was du meintest.
> > Letzteres hab ich so bewiesen: Def. g:= [mm]f^{-1},[/mm]
> Nein! Was bedeutet denn Einselement? Nichts weiter, als daß
> es jedes Element unverändert läßt.
Ich muss doch bzgl. [mm] \times [/mm] zeigen, dass ein neutrales Element existiert. Muss ich dann für g:= 1 definieren? Also die konstante Funktion 1.
Dann gilt nämlich: (f*g)(x) = (f*1)(x) = f(x) * 1 = f(x)
Dann wäre diese Funktion das neutrale Element.
> Spielt zwar hier eigentlich keine Rolle; aber nimm die
> Funktion [mm]f(x)=1+x^2[/mm]. Ist [mm]g(x)=1/(1+x^2)[/mm] wirklich *auf ganz
> [mm]\IR[/mm]* stetig? Auf jedenfall konvergiert die Potenzreihe
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k}x^{2k}[/mm] z.B. nicht für [mm]x=\pm 1[/mm].
Ich hab nicht ganz verstanden, was dies zur Aufgabe beitragen soll.
> > (ii) Hier muss ich doch zeigen, dass [mm]C^{0}(\IR)[/mm] nicht der
> > Nullring ist und dass es keinen Nullteiler hat. Ich weiß
> > nicht, wie man zeigt, dass [mm]C^{0}(\IR) \not=[/mm] Nullring ist.
> Na, da hast Du doch Auswahl ohne Ende ; gib einfach
> irgendein Beispiel einer überall stetigen Funktion an, die
> *nicht* überall =0 ist.
Kann ich da die konstante Funktion h(x) = 1 nehmen? Diese ist sicherlich stetig. Dann wäre [mm] C^{0}(\IR) \not= [/mm] 0.
Ich hoffe, es kann mir jemand auch bei der (ii) und (iii) weiter helfen.
Bei der (iii) muss ich doch zeigen dass I(x) maximal ist. In der Vorlesung haben wir kennengelernt, dass dies äquivalent ist zur Aussage [mm] C^{0}(\IR) [/mm] / I(x) ein Körper ist.
Aber wie mache ich das?
Danke schon mal für eure Hilfe!!!
VG, Moe
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Hallo Moe,
> Hallo zahlenspieler,
> Ich bearbeite dieselbe wie Mini273
>
> Ich hab bloß nicht alles nachvollziehen können, was du
> meintest.
>
> > > Letzteres hab ich so bewiesen: Def. g:= [mm]f^{-1},[/mm]
> > Nein! Was bedeutet denn Einselement? Nichts weiter, als daß
> > es jedes Element unverändert läßt.
>
>
> Ich muss doch bzgl. [mm]\times[/mm] zeigen, dass ein neutrales
> Element existiert. Muss ich dann für g:= 1 definieren? Also
> die konstante Funktion 1.
> Dann gilt nämlich: (f*g)(x) = (f*1)(x) = f(x) * 1 = f(x)
>
> Dann wäre diese Funktion das neutrale Element.
Rööchtööch!
>
> > > (ii) Hier muss ich doch zeigen, dass [mm]C^{0}(\IR)[/mm] nicht der
> > > Nullring ist und dass es keinen Nullteiler hat. Ich weiß
> > > nicht, wie man zeigt, dass [mm]C^{0}(\IR) \not=[/mm] Nullring ist.
> > Na, da hast Du doch Auswahl ohne Ende ; gib einfach
> > irgendein Beispiel einer überall stetigen Funktion an, die
> > *nicht* überall =0 ist.
>
> Kann ich da die konstante Funktion h(x) = 1 nehmen? Diese
> ist sicherlich stetig. Dann wäre [mm]C^{0}(\IR) \not=[/mm] 0.
nicht der Nullring - genau.
>
> Ich hoffe, es kann mir jemand auch bei der (ii) und (iii)
> weiter helfen.
> Bei der (iii) muss ich doch zeigen dass I(x) maximal ist.
> In der Vorlesung haben wir kennengelernt, dass dies
> äquivalent ist zur Aussage [mm]C^{0}(\IR)[/mm] / I(x) ein Körper
> ist.
> Aber wie mache ich das?
Hm, ich glaube nicht, daß Du auf dem Weg dahinkommst.
Mfg
zahlenspieler
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Hi Zahlenspieler!
Keine Sorge, hier kommt keine Komplettlösung, nur ein paar Tips:
Man kann schon zeigen, daß K := [mm] C^{0}(\IR)/I(x) [/mm] ein Körper ist - dazu überlege man sich, daß
- das multiplikative neutrale Element in K gerade 1 + I(x) ist, und, daß
- zu f + I(x) mit f [mm] \in C^{0}(\IR) [/mm] (so sehen die Elemente in K nämlich aus!) das multiplikative Inverse g + I(x) die Eigenschaft
(f + I(x))(g + I(x)) = fg + I(x) (warum gilt das wohl  )
= 1 + I(x)
besitzen muß. Es muß also nur eine Funktion h [mm] \in C^{0}(\IR) [/mm] existieren mit
fg = 1 + h .
Jetzt müßte es eigentlich klar sein, oder?
Ach ja, eines noch:
In einem Körper muß jedes Element invertierbar sein, das ungleich dem additiven neutralen Element ist!
Was aber ist das additive neutrale Element in K hier? Es ist I(x), genauer gesagt 0 + I(x), wobei 0 hier die Nullfunktion bezeichne.
Damit f + I(x) [mm] \not= [/mm] I(x) gilt, muß f [mm] \not\in [/mm] I(x) sein - dann aber ist f(x) [mm] \not= [/mm] 0, also ...
Nein, jetzt fange ich beinahe an, zuviel zu verraten. ;-p
Wer es jetzt noch nicht sieht, naja ... ;-p
Viel Spaß beim Fertigstellen!
Liebe Grüße,
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 05.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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