Ring R*I < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)Sei R ein kommutativer Ring, I [mm] \subseteq [/mm] R ein Ideal und R x I ={(r,a)|r [mm] \in [/mm] R, a [mm] \in [/mm] I} das kart.Produkt von R und I.
Zu zeigen:
R x I ist ein kommutativer Ring mit folgender Addition und Multiplikation:
(r,a)+(s,b)=(r+s,a+b)
(r,a)*(s,b)=(rs,rb+sa)
Dieser Ring wird mit R*I bezeichnet.
b) Zeige, dass P [mm] \to [/mm] P x I={(p,a)|p [mm] \in [/mm] P, a [mm] \in [/mm] I} eine Bijektion zwischen den Primidealen von R und denen von R*I ist. |
Hallo,
zu dieser Aufgabe habe ich nur an manchen Stellen Fragen, die mir während des Rechnens aufgefallen sind.
Im Beweis, dass (RxI,+) eine abelsche Gruppe ist, muss ich ja zeigen, dass die Kommutativität gilt:
z.z. (r,a)+(s,b)=(s,b)+(r,a)
linke Seite ergibt nach Def. (r+s,a+b)
rechte Seite ergibt (s+r,b+a)
Nun meine Frage:
Da ja s+r [mm] \in [/mm] R ist, und R kommutativ ist, ist s+r=r+s. Aber ist nun b+a auch gleich a+b, weil die 2.Komponente ist ja laut Angabe und Def. von R x I in I drin, aber über I ist nichts gesagt, ob es kommutativ ist oder nicht. Aber es muss ja b+a = a+b gelten, sonst wäre R x I ja nicht kommutativ. Aber wie begründe ich das?
Ein ähnliches Problem habe ich auch bei der Assoziativiät von (R x I,*):
[(r,a)*(s,b)]*(t,c)=...=((rs)t,(rs)c+t(rb+sa))
und
(r,a)*[(s,b)*(t,c)]=...=(r(st),r(sc+tb)+(st)a)
Nun ist (rs)t=r(st), da R ein kommutativer ring ist, aber wie es bei der 2.Komponente, das liegt ja in I. Gilt da (rs)c+t(rb+sa)=r(st),r(sc+tb)+(st)a? Oder besser: Kann ich da das Distributivgesetz und die Kommutativiät anwenden? Weil wenn ich zeige, dass R * I ein komm. Ring ist, dann muss ich die Distributiviät und Kommutativität ka erstmal zeigen, udn darf sie noch gar nicht anwenden.
Zur b):
Wie zeige ich, dass die Abb. eine Bijektion ist? Muss ich hier eine Inversenabbbildung finden? Wie sieht die dann aus?
Ich versteh nicht ganz, was die Aufgabe b) von mir verlangt. Primideal bedeutet, dass R/I ein Integritätsring ist. Und es gibt ein Primideal von R*I, wenn R*I/I ein Int.ring ist?? Ich versteh nicht genau, was da gemeint ist in b).
Es wäre schön, wenn jemand meine Fragen beantworten könnte. Danke für die Hilfe!
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Do 07.12.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Milka
I ist doch Ideal in R also weißt du doch einiges über die Eigenschaften von I. Was heißt denn nach Def dass I Ideal von R ist? Was weißt du also z.B. über Kommutativität usw?
LG Binie
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Hallo,
ja daran habe ich auch schon gedacht, dann ist die Sache mit der Kommutativität ja geklärt. Wie siehts mit der Distributivität aus? Gilt das Im Ideal I auch?
Wie muss ich bei b) anfangen, damit ich die Bijektion finde?
Was muss ich da genau machen. Meine Fragen wurden ja noch nicht (alle) beantwortet, und du hast den Status auf beantwortet gestellt.
Danke, Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:59 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Milka
Sorry das mit dem Status hatte ich gar nicht gesehen. Ich bin grad zu müde zum Antworten, aber ich habe die Aufgabe gelöst, wahrscheinlich schreibe ich dir morgen oder Samstag genaueres, wenn bis dahin noch niemand was geantwortet hat.
Liebe Grüße Binie
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>dann ist die Sache
> mit der Kommutativität ja geklärt. Wie siehts mit der
> Distributivität aus? Gilt das Im Ideal I auch?
Hallo,
es ist I eine Teilmenge von R.
Wenn Du im Ideal I keine Distributivität hättest, wäre Dein Ring nicht distributiv. Also wäre der Ring kein Ring.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke für deine Antwort. Aber weißt du, wie man diese Bijektion zwischen den Primidealen von R und denen von R*I zeigt?
Danke für die Hilfe!
Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 13.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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