Rücktrafo aus z-Bereich < z-transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:40 Di 02.07.2013 | | Autor: | shummy |
| Aufgabe | Es liegt die Übertragungsfunktion im z-Bereich in
[mm] \bruch{A(z+B)}{(z+C)(z+D)}
[/mm]
vor. Sie wurde aus einer Identifiktation gewonnen. Um eine Regelung zu entwerfen soll sie in den Laplace-Bereich transformiert werden. |
Hallo Leute,
Ich habe schon einiges probiert PBZ und hin und hergerechnet, aber ich krieg die Funktion einfach nicht von Hand in den Laplace-Bereich überführt. Matlab vollführt die Umwandlung, die sich über den Zusammenhang von Polen und Nullstellen in z-Bereich und Laplace-Bereich
[mm] z=e^{sT}
[/mm]
nachvollziehen kann. Den Vorfaktor (Gain in ZPK-darstellung) kann man aus den Endwertsätzen jeweils für Laplace und Z-Bereich bestimmen.
Allerdings finde ich diese Vorgehensweise in keinem Buch. Ist sie überhaupt allgemein anwendbar? Wie würde man auf mathematisch sauberem Weg die obige Aufgabe lösen?
beste Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Di 02.07.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo shammy,
was hier Matlab macht, kann ich leider nicht beurteilen. Wenn man sich aber überlegt, dass es zu einem wertkontinuierlichen Signal im Zeitbereich eine Laplace-Transformierte gibt und zu einem diskreten Zeitsignal es die z-Transformierte gibt, so sieht man, dass die Signale im Zeitbereich unterschiedlich sind. Eine Art von Abtastung im Laplace-Bereich (die Frage ist aber offen, was das sein soll) könnte zu einem Signal im z-Bereich führen. Ich muss allerdings gestehen, dass mir so etwas bisher noch nicht untergekommen ist. Ich kenne nur die Rücktransformation aus dem z-Bereich in ein wertdiskretes Signal, rückgängig machen der Abtastung (hier gibt es mehrere Interpolationsmöglichkeiten) und anschließende Laplace-Transformation des nun wertkontinuierlichen Zeitsignals.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Di 02.07.2013 | | Autor: | shummy |
Es soll natürlich kein diskretes Signal am Ende rauskommen, sondern ein kontinuierliches, welches sich möglichst gut über das diskrete Signal legen würde.
Problem ist doch folgendes: aus der Parameteridentifikation erhält man zeitdiskrete Übertragungsfunktionen. Um nun damit quasikontinuierliche Regler auszulegen muss man in den Zeitbereich bzw. Frequenzbereich. Die Bücher die ich dazu gesehen habe empfehlen(wenn ich das richtig verstehe) PBZ und dann Trafo-Tabellen, das kriege ich allerdings nicht hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 02.07.2013 | | Autor: | shummy |
>Ich kenne nur die Rücktransformation aus dem z-Bereich in ein wertdiskretes Signal, rückgängig machen der Abtastung (hier gibt es mehrere Interpolationsmöglichkeiten) und anschließende Laplace-Transformation des nun wertkontinuierlichen Zeitsignals.
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das hört sich doch gut an! ich habe halt aber eine Übertragungsfunktion im z-Bereich und möchte halt in den Laplace-Bereich. Hast du eine Buchquelle oder kannst du mir die Rechenvorschrift mitteilen um deine diskrete Übertragungsfunktion so in den Laplacebereich zu überführen?
beste grüße
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hallo,
verstehe ich dich richtig? matlab rechnet etwas vor und dir fehlt der mathematische hintergrund?
dann schaue mal hier nach
http://de.wikipedia.org/wiki/Bilineare_Transformation_(Signalverarbeitung)
ansonsten die frage bitte präziser stellen 
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 04.09.2013 | | Autor: | shummy |
hallo tee,
ja genau so etwas habe ich gesucht, ich möchte eine z-transformierte in den laplace-bereich überführen können. auf wikipedia steht, mit der bilinearen trafo wäre das möglich, allerdings habe ich ausprobiert z durch
z=(1+Ts/2)/(1-Ts/2)
zu ersetzen. ich kriege es leider nicht hin die richtige laplace-gleichung zu bestimmen.... mache ich noch einen fehler? kannst du mir auf die Sprünge helfen? Wie gesagt mein ausgangssystem im z-bereich habe ich ja im ausgangspost in der ersten frage geschrieben. ein PT2-glied mit allpassverhalten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mi 04.09.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo shummy,
wenn Du uns sagst, dass dies nicht die richtige Laplace-Gleichung ist, die Du rausbekommst, dann zeige uns doch mal die richtige Gleichung, vielleicht fällt uns ja noch was auf. Für T musst Du die Abtastperiode einsetzen, da Du ja zwischen einem zeitdiskreten und einem zeitkontinuierlichen System transformierst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 04.09.2013 | | Autor: | shummy |
Hallo,
also gut:
meine Ausgangsgleichung im z-Bereich (Abtastzeit 0.1s) lautet:
[mm] \bruch{-0,08121z + 0,08794}{z^2 - 1,506z + 0,5332}
[/mm]
und Matlab liefert mir als "Äquivalent" im Laplace-Bereich:
[mm] \bruch{-1,151s + 0,9093}{s^2 + 6,288s + 3,678}
[/mm]
beide Systeme haben liegen in Sachen Sprungantwort etc. sehr nah beieinander.
Ich kann wie gesagt die Pole und Nullstellen, die Matlab liefert, über
z=e^(sT)
nachvollziehen. Wobei aber noch nicht klar ist, wie der sich ändernde Verstärkungsfaktor zu berechnen ist. Ich kann den neuen Verstärkungsfaktor zwar ausrechnen, indem ich den Endwertsatz für beide Gleichungen anwende, aber ich finde zu dieser Vorgehensweise nirgendwo eine Quelle und ohne Quelle ist es nichts wert.
Ich werde jetzt noch weiter in sachen bilinearer Trafo recherchieren.
vielen dank für die Hilfe
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Sollst du die Aufgabe schriftlich lösen? Hast du schon die Substituion versucht? Oder brauchst du lediglich das Ergebnis für eine Arbeit? Dann reicht dir doch was Matlab zeigt.
Hier ein Literaturvorschlag von Wiki:
Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg, München 1999, ISBN 3-486-24145-1.
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mi 04.09.2013 | | Autor: | shummy |
Matlab kann ja viel ausrechnen wenn der Tag lang ist. Ich möchte die Trafo auch selber nachvollziehen und durchführen können. leider finde ich nur umständliche integrale und korrespondenztabellen.
Die frage, ob meine Trafo von z zu laplace mittels z=e^sT und den endwertsätzen zulässig ist, ist auch leider noch nciht befriedigend gelöst. das wäre doch mal eine einfache und praktikable methode.
das matlab recht hat stimmt immer.
den literaturhinweis habe ich mir heute in der BIB angeschaut, stand auch nicht mehr als im Wikipedia artikel drin.
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Lies dir mal dieses paper der Uni Stanford durch. Das dürfte dir zum Zitieren reichen.
https://ccrma.stanford.edu/~jos/Laplace/Laplace_4up.pdf
Valerie
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