Satz über implizite Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Sa 17.06.2006 | | Autor: | sclossa |
gegeben sei die implizite Funktion [mm] F(x,y)=x^2+y^2-1
[/mm]
Das auflösen von F(x,y)=0 bedeutet ja die Kreislinie als Graph einer Funktion darzustellen und das kann ja nicht gelingen. Aber es ist stückweise ja möglich. Wenn ich nun aber den Satz über implizite Funktionen anwende mit dem Punkt (0,1) dann erfüllt dieser ja die
Voraussetzungen F(x,y)= 0 dF/dy (x,y) [mm] \not= [/mm] 0 da y=1. Aber wenn ich die die Gleichung nach y auflöse erhalte ich ja y(x) = [mm] \pm \wurzel[]{1-x^2}
[/mm]
und somit doch zwei verschiedene Funktionen g(x) mit F(x,g(x)) = 0 für x [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von 0???
Irgendwo hab ich aber gelesen das die auflösen bedeutet: "eindeutig auflösbar". Oder muss ich entweder + oder - wählen abhängig vom gewählten y?
Kann man somit sagen:
Die Gleichung ist z.B. für den Punkt (0,1) lokal eindeutig nach y auflösbar mit y = + [mm] \wurzel[]{1-x^2}
[/mm]
und die Gleichung ist für den Punkt (0,-1) lokal eindeutig nach y auflösbar mit y = - [mm] \wurzel[]{1-x^2} [/mm] ?
Und ebenso für [mm] (1/\wurzel[]{2},1/\wurzel[]{2}) [/mm] muss man ebenfalls
y = [mm] \wurzel[]{1-x^2} [/mm] wählen.
Habe ich das richtig gedeutet? Gibt es also zwei verschiedene Gleichungen g1(x) und g2(x)?
Wäre nett, wenn mir jemand das mal genauer erklärt. 
Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mo 19.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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