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Hallöchen,
ich bin wieder fleißig am Nachbereiten alter Vorlesungen im Hinblick auf Klausuren und der Beweis zu diesem Satz ärgert mich etwas, weil ich ihn nicht ganz verstehe.
Es geht um den Satz: für p>2 ist [mm] (\IZ/p^r \IZ)^{\times} [/mm] zyklisch für alle r.
wir haben den Beweis in 3 Schritten geführt und schon im ersteh haperts. Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen:
1. Schritt für r=1. Es gilt zu zeigen: [mm] (\IZ/p \IZ)^{\times} [/mm] = [mm] C_{p-1}.
[/mm]
Für d | p-1 setze [mm] \psi(d):=\# \{x \in (\IZ/p \IZ)^{\times} | ord x=d \}
[/mm]
Dann ist [mm] \summe_{d |p-1} \psi(d)=p-1
[/mm]
Woher weiß man das? Das will sich mir leider nicht erschließen.
Wir behaupten nun [mm] \phi(d) \ge \psi(d).
[/mm]
Klar wenn [mm] \psi(d)=0.
[/mm]
Wenn [mm] \psi(d)>0 [/mm] erxistiert x mit ord x=d. Dann sind [mm] x^0=1,x,..., x^{d-1} [/mm] Lösungen von [mm] y^d-1=0
[/mm]
Also sind das [mm] \underline{alle} [/mm] Lösungen, weil [mm] \IZ/p \IZ [/mm] ein Körper ist.
Wieso folgt, dass daraus? Das ist mir leider auch nicht wirklich klar. Welche Körpereigenschaft benötige ich denn dafür?
Insbesondere: alle z mit ord z=d kommen darunter vor, d.h. alle [mm] x^i [/mm] mit (i,d)=1, d.h. [mm] \phi(d), [/mm] also [mm] \phi(d)=\psi(d)
[/mm]
Wie sieht man dann bitte diese Gleichheit? mir ist nicht klar wie ich von den z auf die [mm] x^i [/mm] schließen kann
Wegen [mm] \summe_{d |m} \phi(d)=m [/mm] folgt hieraus: [mm] \summe_{d |p-1} \phi(d)=p-1=\summe_{d |p-1} \psi(d)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \psi(d)>0 [/mm] für alle d, insbesondere [mm] \psi(p-1)>0.
[/mm]
Ist das nicht ein kleiner Widerspruch dazu, dass alles klar ist wenn [mm] \psi(d)=0 [/mm] ist? Und woraus wird hiert genau geschlussfolgert das [mm] \psi(p-1)>0 [/mm] ist?
Ich hoffe mir kann jemand helfen meine Fragen in dem Beweis zu klären?
So langsam verzweifle ich daran.
LG Schmetterfee
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Hallöchen,
kann mir keiner weiter helfen? Der Beweis ist leider solang das man einfach kein Land mehr sieht wenn schon hier Unklarheiten vorherschen
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Sa 21.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen,
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> ich bin wieder fleißig am Nachbereiten alter Vorlesungen
> im Hinblick auf Klausuren und der Beweis zu diesem Satz
> ärgert mich etwas, weil ich ihn nicht ganz verstehe.
>
> Es geht um den Satz: für p>2 ist [mm](\IZ/p^r \IZ)^{\times}[/mm]
> zyklisch für alle r.
>
> wir haben den Beweis in 3 Schritten geführt und schon im
> ersteh haperts. Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen:
>
> 1. Schritt für r=1. Es gilt zu zeigen: [mm](\IZ/p \IZ)^{\times}[/mm]
> = [mm]C_{p-1}.[/mm]
> Für d | p-1 setze [mm]\psi(d):=\# \{x \in (\IZ/p \IZ)^{\times} | ord x=d \}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\summe_{d |p-1} \psi(d)=p-1[/mm]
> Woher weiß man das?
> Das will sich mir leider nicht erschließen.
Der Grund ist der: Jedes Element hat natuerlich irgendeine Ordnung $d$; und $d$ teilt $p-1$, weil [mm] $x^{p-1}= [/mm] 1$ nach dem kleinen Satz von Fermat gilt und $d$ als kleinster Exponent mit dieser Eigenschaft $p-1$ teilt. Jetzt sage ich: Sei $D$ die Menge aller moeglichen Ordnungen von Elementen aus [mm] $\IZ_{p}^{\*}$, [/mm] welche also nur Teiler von $p-1$ enthaelt. Fuer [mm] $d\in [/mm] D$ sei [mm] $X_{d}:= \{x\in \IZ_{p}^{\*}| o(x)= d\}$. [/mm] Die [mm] $X_{d}$ [/mm] sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ergibt ganz [mm] $\IZ_{p}^{\*}$. [/mm] Ferner ist [mm] $\psi(d)= |X_{d}|$ [/mm] fuer [mm] $d\in [/mm] D$ und [mm] $\psi(d)= [/mm] 0$ falls [mm] $d\not\in [/mm] D$. Damit folgt [mm] $\sum_{d|p-1} \psi(d)= \sum_{d\in D} \psi(d)= \sum_{d\in D} |X_{d}|\stackrel{\dot{\cup}_{d\in D} X_{d}= \IZ_{p}^{\*}}{=} |\IZ_{p}^{\*}|= [/mm] p-1$ ist.
> Wir behaupten nun [mm]\phi(d) \ge \psi(d).[/mm]
> Klar wenn
> [mm]\psi(d)=0.[/mm]
> Wenn [mm]\psi(d)>0[/mm] erxistiert x mit ord x=d. Dann sind
> [mm]x^0=1,x,..., x^{d-1}[/mm] Lösungen von [mm]y^d-1=0[/mm]
> Also sind das [mm]\underline{alle}[/mm] Lösungen, weil [mm]\IZ/p \IZ[/mm]
> ein Körper ist.
> Wieso folgt, dass daraus? Das ist mir leider auch nicht
> wirklich klar. Welche Körpereigenschaft benötige ich denn
> dafür?
Es ist ein bekannter Satz, dass ein Polynom ueber einem Koerper vom Grade $d$ hoechstens $d$ Nullstellen hat; das ist leicht zu beweisen und wird in bestimmt jedem Algebra-Buch vorgefuehrt. Hat man $d$ Nullstellen gefunden, sind genau alle moeglichen.
> Insbesondere: alle z mit ord z=d kommen darunter vor, d.h.
> alle [mm]x^i[/mm] mit (i,d)=1, d.h. [mm]\phi(d),[/mm] also [mm]\phi(d)=\psi(d)[/mm]
> Wie sieht man dann bitte diese Gleichheit? mir ist nicht
> klar wie ich von den z auf die [mm]x^i[/mm] schließen kann
Die [mm] $x\in X_{d}$ [/mm] sind Nullstellen des Polynoms $f= [mm] t^{d}-1$ [/mm] und die zyklische Gruppe $<x>$ liefert nach obiger Ueberlegung genau die Nullstellenmenge dieses Polynoms; anders gesagt [mm] $X_{d}\subseteq [/mm] <x>$ fuer [mm] $x\in X_{d}$. [/mm] Nun muessen nur noch Elemente der Ordnung $d$ in $<x>$ bestimmt werden: $<x>$ wird genau dann von [mm] $x^{i}$ [/mm] erzeugt, wenn [mm] $\gcd(d,i)= [/mm] 1$ gilt. Folglich enthaelt sie [mm] $\phi(d)$ [/mm] Erzeuger, d.h. [mm] $\phi(d)= |X_{d}|= \psi(d)$.
[/mm]
> Wegen [mm]\summe_{d |m} \phi(d)=m[/mm] folgt hieraus: [mm]\summe_{d |p-1} \phi(d)=p-1=\summe_{d |p-1} \psi(d)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \psi(d)>0[/mm] für alle d, insbesondere
> [mm]\psi(p-1)>0.[/mm]
> Ist das nicht ein kleiner Widerspruch dazu, dass alles
> klar ist wenn [mm]\psi(d)=0[/mm] ist?
Nein, die Voraussetzung lautete [mm] $\psi(d)>0$; [/mm] der andre Fall in der Fallunterscheidung spielt fuer die eben durchgefuehrte Ueberlegung keine Rolle.
> Und woraus wird hiert genau
> geschlussfolgert das [mm]\psi(p-1)>0[/mm] ist?
Ihr habt [mm] $\psi(p-1)= \phi(p-1)>0$.
[/mm]
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen meine Fragen in dem Beweis
> zu klären?
> So langsam verzweifle ich daran.
>
> LG Schmetterfee
Der Beweis ist etwas konfus: Nachdem man [mm] $\phi(d)=\psi(d)$ [/mm] gezeigt hat, ist
> Wegen [mm]\summe_{d |m} \phi(d)=m[/mm] folgt hieraus: [mm]\summe_{d |p-1} \phi(d)=p-1=\summe_{d |p-1} \psi(d)[/mm]
ueberfluessig; man fuehrt den Beweis aber auch gerne so, dass man nur [mm] $\phi(d)\geq \psi(d)$ [/mm] zeigt und aus der Summe
> Wegen [mm]\summe_{d |m} \phi(d)=m[/mm] folgt hieraus: [mm]\summe_{d |p-1} \phi(d)=p-1=\summe_{d |p-1} \psi(d)[/mm]
schlussfolgert,dass sogar Gleichheit gelten muss. In jedem Fall ergibt sich [mm] $\psi(p-1)= \phi(p-1)>0$.
[/mm]
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Hallöchen,
okay das habe ich nun verstanden und auch den Rest des Beweises habe ich durchdrungen. Mein Problem ist nur das mir die Idee dahinter nicht klar ist. So funktioniert der 2. Schritt ja so:
Es existier Erzeuger [mm] \overline{a} [/mm] von [mm] (\IZ/p\IZ)^\* [/mm] mit [mm] a^{p-1} \not\equiv [/mm] 1 mod [mm] p^2.
[/mm]
Und das beweise ich dann ja einfach durch Widerspruch. aber ich verstehe nicht was es mir bringt dies zu zeigen.
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Sa 21.01.2012 | | Autor: | hippias |
Dazu kann ich so nichts sagen, ohne dass Du den entsprechenden Beweistext vorzeigst. Ich persoehnlich wuerde die Behauptung vermutlich ganz anders angehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 29.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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