Schätzung mit Momentenmethode < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 So 24.07.2011 | | Autor: | leonie86 |
| Aufgabe | | Für bekanntes m [mm] \in [/mm] N und unbekanntes p [mm] \in [/mm] (0,1) sei X1,...,Xn für X-B(m,p). Bestimmen Sie die Schätzungen nach der Momenten- und der Maximum-Likelihood- Methode für p. |
Hallo,
ich muss oben genannte Aufgabe lösen und weiß nicht recht, wie ich da anfangen muss. Ich habe also ein bekanntes m und will p schätzen und kann dabei von einer Binominalverteilung ausgehen. Wie bringe ich das jetzt aber mit der Momenten- und Maximum-likelihood-Methode zusammen??
Vielen Dank schonmal für die Hilfe, Grüße Leonie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Mo 25.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Leonie
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> Wie bringe ich das jetzt aber
> mit der Momenten- und Maximum-likelihood-Methode
> zusammen??
Du musst zunaechst unterstellen, dass eine Stichprobe [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] aus der Binomialverteilung vorliegt.
MM: Bestimme den Erwarwurtungswert der Verteilung, setze ihn gleich dem arithmetischen Mittel [mm] $\bar X=\sum X_i/n$ [/mm] und loese nach $p_$ auf.
ML: Stelle die Likelihoodfunktion auf und maximiere sie. Zur einfacheren Bestimmung kannst du die Likelihoodfunktion logarithmieren.
vg Luis
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Mich interessiert die Aufgabe auch. Ich hab noch nie verstanden, wie man an so eine Aufgabe rangeht.
Was heißt hier "unterstelle" zunächst? Soll ich mir bei der MomentenMethode irgendeine Binominalverteilung ausdenken, als eine Art Modell/theoretische Grundlage, und aus den Werten dann den Erwartungswert und den Mittelwert bilden, die ich dann gleichstelle und nach p auflöse?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 25.07.2011 | | Autor: | luis52 |
> Was heißt hier "unterstelle" zunächst?
Mit unterstellen meine ich, dass Daten in Form einer SP vorliegen.
> Soll ich mir bei
> der MomentenMethode irgendeine Binominalverteilung
> ausdenken, als eine Art Modell/theoretische Grundlage, und
> aus den Werten dann den Erwartungswert und den Mittelwert
> bilden,
Den Erwartungswerten berechnest du innerhalb des Modells, den Mittelwert aus den Daten.
> die ich dann gleichstelle und nach p auflöse?
Ganz recht.
vg Luis
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Diese Stichtproben liegen doch aber nach Aufgabe nicht vor?
In diesem Fall berechne ich also den Erwartungswert mit m*p , weil dieses so in der Binominalverteilung gehandhabt wird?
Aufgelöst nach p wäre das doch dann p= [mm] \bruch{Mittelwert}{m}, [/mm] richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Di 26.07.2011 | | Autor: | luis52 |
> Diese Stichtproben liegen doch aber nach Aufgabe nicht
> vor?
Wenn nach der Konstruktion eines MM- oder ML-Schaetzer wird implizit *immer* unterstellt, dass Daten z.B. in Form einer Stichprobe vorliegen. Das muessen keine konkreten Werte sein.
>
> In diesem Fall berechne ich also den Erwartungswert mit m*p
> , weil dieses so in der Binominalverteilung gehandhabt
> wird?
>
> Aufgelöst nach p wäre das doch dann p=
> [mm]\bruch{Mittelwert}{m},[/mm] richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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Könntest du mir die ML-Methode in Bezug auf eine konkrete Aufgabe erklären? Ich schreibe in 2 Tagen Klausur und muss das noch unbedingt verstehen. Du würdest mir damit sehr weiterhelfen, weil ich da nur in Schildkrötentempo voranschreite.
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Hallo Mareike,
> Könntest du mir die ML-Methode in Bezug auf eine konkrete
> Aufgabe erklären? Ich schreibe in 2 Tagen Klausur und muss
> das noch unbedingt verstehen. Du würdest mir damit sehr
> weiterhelfen, weil ich da nur in Schildkrötentempo
> voranschreite.
Na, du hast n ZV [mm]X_1,..., X_n[/mm], die alle unabh. [mm]B(m,p)[/mm]-verteilt sind.
[mm]p[/mm] ist der unbekannte zu schätzende Parameter.
Wir brauchen die Likelihoodfunktion [mm]L(p)[/mm]
Dazu:
Die Zähldichte eines [mm]X_i[/mm] ist [mm]f_p(x)=\vektor{m\\
x}p^x(1-p)^{m-x}[/mm]
Damit ist die Zähldichte von [mm]X=(X_1,...,X_n)[/mm]
[mm] $\rho_p(X)=\prod\limits_{i=1}^{n}\vektor{m\\
X_i}p^{X_i}(1-p)^{m-X_i}=:L(p)$
[/mm]
Dies gilt es nun bzgl. [mm]p[/mm] zu maximieren.
Es bietet sich dazu an, die Log-Likelihoodfunktion [mm]\log(L(p))[/mm] zu maximieren. Das geht, weil der Logarithmus streng monoton steigend ist und damit dieselbe(n) Maximalstelle(n) hat wie [mm]L(p)[/mm].
Mit der Log-Likelihoodfunktion kannst du dann besser "bearbeiten", da das Produkt [mm]\prod[/mm] dann wegen der Logarithmengesetze zu einer Summe [mm]\sum[/mm] wird.
Dies mal als Tipps, versuch's mal damit ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Di 26.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielleichst kannst du auch hier Honig saugen.
vg Luis
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