Schranke < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Di 24.04.2012 | | Autor: | Bluma89 |
| Aufgabe | [mm] a_{0}=1, a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+2}
[/mm]
Zeige durch vollst. Induktion, dass a) [mm] a_{n} [/mm] streng monoton wachsend ist und b) durch 2 beschränkt ist. |
a) habe ich bereits erledigt, b) in meinen Augen auch. Allerdings würde ich gerne nachfragen, wie das Mathematikerauge meine Lösung sieht:
[mm] a_{n+1}\le [/mm] 2
[mm] \wurzel{a_{n}+2}\le [/mm] 2
[mm] a_{n}+2\le [/mm] 4
[mm] a_{n}\le [/mm] 2
Kann man auch über Konvergenz gehen? Die Schranke entspricht ja dem Grenzwert, dem sich die Folge annähert?
(über [mm] |a_{n+1}|-g<\varepsilon [/mm] )
(ok, dass 2 dem Grenzwert entspricht ist nicht nachgewiesen)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a_{0}=1, a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+2}[/mm]
>
> Zeige durch vollst. Induktion, dass a) [mm]a_{n}[/mm] streng monoton
> wachsend ist und b) durch 2 beschränkt ist.
> a) habe ich bereits erledigt, b) in meinen Augen auch.
> Allerdings würde ich gerne nachfragen, wie das
> Mathematikerauge meine Lösung sieht:
>
> [mm]a_{n+1}\le[/mm] 2
> [mm]\wurzel{a_{n}+2}\le[/mm] 2
> [mm]a_{n}+2\le[/mm] 4
> [mm]a_{n}\le[/mm] 2
Das ist kein Induktionsbeweis !!!
Induktionsanfang: .....
Induktionsvoraussetzung: ....
Induktionsschluß: ......
>
> Kann man auch über Konvergenz gehen? Die Schranke
> entspricht ja dem Grenzwert, dem sich die Folge annähert?
Das stimmt nicht. Die Folge (1/n) ist eine Nullfolge, aber durch 123456789 nach oben beschränkt.
FRED
> (über [mm]|a_{n+1}|-g<\varepsilon[/mm] )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Di 24.04.2012 | | Autor: | Bluma89 |
Ok, wie sieht es hiermit aus:
IA:
[mm] a_{0}=1<2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wahr
IV:
[mm] a_{n+1}<2
[/mm]
IS:
[mm] a_{n+2}<2
[/mm]
[mm] \wurzel{a_{n+1}+2}<2
[/mm]
[mm] a_{n+1}+2<4
[/mm]
[mm] a_{n+1}<2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] unter Annahme IV: wahr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Beweis ist nicht wirklich falsch, weil man die Schritte umkehren kann,das musst du dann aber zeigen. richtig ist du fängst mit $ [mm] a_{n+1}<2 [/mm] $ an und landest bei
$ [mm] \wurzel{a_{n+1}+2}<2 [/mm] $
Den GW kannst du nicht verwenden, weil du durch mon steigend undnach oben beschränkt erst feststellst dass einer existiert.
Gruss leduart
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