Schubfachprinzip < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:39 Di 10.01.2023 | | Autor: | math2222 |
Eine Schülerin bereitet sich genau 101 Tage auf die Mathematik-Olympiade vor.
Sie möchte jeden Tag mindestens ein Mathematik-Puzzle angehen, aber insgesamt höchstens 156 Puzzles. Beweisen Sie (mittels Schubfachprinzip), dass es dann einen zusammenhängenden Zeitraum von ganzen Tagen geben muss, in dem die Studentin genau 45 Puzzles bearbeitet.
Hinweis: Betrachten Sie für i=1,...,101 die Anzahl $ [mm] p_i [/mm] $ der Puzzles bis zum Tag i und die Zahlen $ [mm] q_j:=p_j+45. [/mm] $ Wie viele (verschiedene?) Zahlen sind das und in welchem Intervall liegen diese?
Habt ihr für mich Ideen, wie ich die Aufgabe bearbeiten muss?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 10.01.2023 | | Autor: | fred97 |
Das hatten wir schon einmal:
https://matheraum.de/forum/Schubfachprinzip/t1048501
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Verteile erst mal auf jeden Tag 1 Puzzle. Dann bleiben 55 Puzzles übrig.
Bestimme die möglichen Intervalle für die [mm] p_i: [/mm] kleinster Wert, wenn du davon ausgehst, dass alle 55 Puzzles erst am letzen Tag dazu kommen, größter Wert, wenn alle 55 schon am 1. Tag dazu kamen.
Bestimme [mm] q_i-Intervalle [/mm] und überlege dann weiter.
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Die kleinste Zahl, die für die [mm] p_i [/mm] möglich ist, ist [mm] p_1 [/mm] = 1. Außerdem ist [mm] p_{101} [/mm] = 156. Die [mm] p_i [/mm] steigen jedesmal um mindestens 1 an, sind also alle verschieden. Somit sind die [mm] p_i [/mm] 101 Zahlen aus A = {1,2,...,156}.
Die [mm] q_j [/mm] sind die um 45 erhöhten [mm] p_j, [/mm] also 101 Zahlen aus B = {46, 47, ..., 201}.
Behauptung: Wir finden mindestens ein [mm] p_i [/mm] aus A in B wieder.
Wir betrachten den Durchschnitt C = A [mm] \cap [/mm] B = {46, 47, ...,156} mit 111 Elementen.
Von den [mm] p_i [/mm] können maximal 45 Elemente aus {1, 2, ...,45} nicht in C liegen. Aso enthält C mindestens 56 [mm] p_i [/mm] aus A.
von den [mm] q_j [/mm] können höchstens 45 Elemente aus {157, 158, ..., 201} nicht in C liegen. Aso enthält C mindestens 56 [mm] q_j [/mm] aus B.
Da C aber nur 111 = 2*56 - 1 Elemente enthält, muss mindestens ein [mm] p_i [/mm] mit einem [mm] q_j [/mm] in C übereinstimmen.
Nehmen wir nun beispielsweise an, [mm] p_{88} [/mm] = 122 = [mm] q_{75} [/mm] = [mm] p_{75} [/mm] + 45. Dann ist [mm] p_{75} [/mm] = 77, [mm] p_{88} [/mm] = 122 = 77 + 45, und von Tag 75 bis Tag 88 sind genau 45 Puzzles dazugekommen.
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Erniedrigt man die "Abstandszahl" 45 um 1 unter Beibehaltung der anderen Zahlen, so geschieht Folgendes:
Die Menge A bleibt. Bei B erniedrigen sich Anfangs- und Endzahl um jeweils 1. C hat einen um 1 niedrigeren Anfangswert (45 statt 46), aber der Endwert ist geblieben (156). C kann somit 1 Element mehr fassen (112 statt 111 verschiedene Zahlen).
Für die [mm] p_i, [/mm] die nicht in C liegen, gibt es nun aber eine Möglichkeit weniger als zuvor (1 - 44 statt 45). Das selbe gilt für die [mm] q_j, [/mm] die nicht in C liegen (157 - 200 statt 201). Somit muss C 2 Zahlen mehr aufnehmen als zuvor, ist aber nur um einen Platz gewachsen. Deshalb muss es jetzt statt einer zwei Überschneidungen geben. Es gibt somit mindestens 2 Paare, die einen Abstand von 44 Puzzles haben. Die Tagesbereiche können sich dabei überschneiden, z.B. 44 Puzzles Unterschied zwischen Tag 75 und Tag 88 sowie zwischen Tag 80 und Tag 95.
Mit jeder Absenkung der Abstandszahl um 1 kommt ein weiteres Paar zur Mindestanzahl hinzu, das diesen Abstand hat. Ist die Abstandszahl 46 - x, so gibt es mindestens x Tagespaare mit diesem Abstand (0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 45).
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