Seitenmitten einer Raute < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Laurina |
| Aufgabe | Zeigen Sie allgemein: Die Seitenmitten einer Raute sind die Eckpunkte eines Rechtecks.
(Aus: Lambacher Schweizer: Lineare Algebra mit analytischer Geometrie Leistungskurs; s. 248, Aufgabe 9d) ) |
Hallo Ihr Lieben,
ich komm bei dieser Aufgabe nicht auf einen Ansatz.
Wenn ich eine Skizze anfertige, sehe ich natürlich, dass das stimmt, aber das gilt wohl nicht als Beweis ;) .
In den vorherigen Teilaufgaben habe ich eine Raute verwendet mit den Koordinaten:
A (2/1/-4)
B (6/3/-4)
B' (2/5/-6)
D (6/7/-6)
(dabei liegt B gegenüber von B' und A gegenüber von D)
Hierbei kann ich natürlich die Seitenmitten bestimmen, dann die Verbindungsvektoren zwischen den Seitenmitten bilden und (zum Beispiel durch Bildung des Skalarproduktes) zeigen, dass diese Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Aber was mich verwirrt ist das "allgemein" in der Aufgabenstellung, denn das besagt ja, dass ich mich nicht auf diese Zahlen beziehen soll. Stattdessen soll ich wohl zeigen, dass diese Aussage für jede beliebige Raute gilt.
Jemand eine Idee wie man da ansetzen könnte?
Viele Grüße, Laurina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mo 06.02.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo Laurina,
hast du es schon mit Winkeln versucht? Vielleicht kannst du irgendwie eine Skizze machen, und das Rechteck einzeichnen, und mit Winkeln die selben Winkelverhältnisse zu den Seiten nachweisen, und dann vielleicht noch, das die Seiten des Rechtsecks parallel zu den Diagonalen der Raute verlaufen.
Viel Erfolg!
//Sara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mo 06.02.2006 | | Autor: | riwe |
mit der üblichen bezeichnung der ecken A, B, C und D gegen den uhrzeigersinn und [mm] \vec a = \vec {AB}, \vec b = \vec {BC} [/mm]
und [mm] \vec x =1/2(\vec a +\vec b), \vec y = 1/2(\vec a - \vec b) [/mm]
zeigst du mit dem skalarprodukt [mm] \vec x \cdot \vec y [/mm] =0, dass [mm] \vec x [/mm] senkrecht auf [mm] \vec y [/mm], dabei ist zu berücksichtigen, dass [mm] \left| \vec a \right| =\left| \vec b\right| [/mm] .
werner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Laurina |
Tut mir leid Werner, aber deine Antwort verstehe ich nicht.
> mit der üblichen bezeichnung der ecken A, B, C und D gegen
> den uhrzeigersinn und [mm]\vec a = \vec {AB}, \vec b = \vec {BC}[/mm]
Ok, soweit kann ich folgen
> und [mm][mm] \vec [/mm] x [mm] =1/2(\vec [/mm] a [mm] +\vec [/mm] b)
Wenn ich das richtig verstehe, dann ist (a+b) doch nichts anderes als der Vektor AC . Also liegt x =1/2( a + b) genau zwischen A und C, also mitten in der Raute, und nicht auf einer der Seitenmitten.
und der Vektor (a-b) verbindet dann B und D, richtig? Bzw. der Vektor vec y = 1/2(a - b) verbindet D mit dem Mittelpunkt der Raute.
> zeigst du mit dem skalarprodukt [mm]\vec x \cdot \vec y[/mm] =0,
> dass [mm]\vec x[/mm] senkrecht auf [mm]\vec y [/mm], dabei ist zu
> berücksichtigen, dass [mm]\left| \vec a \right| =\left| \vec b\right|[/mm]
> .
> werner
Und der ist dann auch orthogonal zu dem Vekor von A zum Mittelpunkt. Aber was hat das ganze mit den Seitenmitten meiner Raute zu tun?
P.S. Ich hab alle Vektoren als normale Buchstaben geschrieben, weil die Formelkerstellung irgendwie nicht geklappt hat, also a heisst natürlich Vektor a)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 06.02.2006 | | Autor: | riwe |
hallo laurina,
das ist ja der witz mit den vektoren, klar hast du recht, wenn du bei A beginnst. aber vektoren sind ja frei (verschiebbar)!!! wenn du eben in der mitte der seite AB beginnst, bist du dort, wo du in diesem fall sein sollst!
werner
ich habe dir im anhang ein bildchen dazu gemacht
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Laurina |
Oh ja, mit dem Bild wird mir einiges klarer!
Da wär ich so nicht drauf gekommen!
1000 Dank für Deine Mühen!
Lg Laurina
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