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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mi 08.06.2005 | | Autor: | c.t. |
Hallo,
ich habe Schwirigkeiten mit folgender Aufgabe:
Sei V ein endlich dimensionaler [mm] \IR [/mm] - Vektorraum. Sei H [mm] \subseteq [/mm] V ein UVR mit dim H= dim V-1 und f: [mm] V\to [/mm] V ein Endomorphismus für den folgendes gilt: [mm] f|H=id_{v}, [/mm] f [mm] \circ f=id_{v}, [/mm] f [mm] \not= id_{v}.
[/mm]
a) Sei < , > ein Skalarprodukt auf V, sodass f orthogonal bezüglich < , > ist. Zeige, dass f eine Spiegelung ist, also, dass f(a)=-a [mm] f|{}^\perp=id_{v}, [/mm] wobei [mm] {>a>}^\perp [/mm] der Senkrechtraum zu dem von {a} aufgespannten UVR ist.
b) Zeige, dass stets ein Skalarprodukt auf V existiert bezl. welchem f eine Siegelung ist.
a) habe ich komplett gezeigt. Bei b) muss man doch zeigen, dass f bezüglich irgendeines Skalarproduktes orthogonal ist, denn dann kann man ja ganz normal a) anwenden und erhält die Spiegelung. [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] H ist alles klar. Nur für die a [mm] \in {a}\perp [/mm] kann ich das nicht zeigen.
Kann mir hier also jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt
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Grüße!
Also, Du bist fertig, wenn Du einen Eigenvektor zum Eigenwert -1 finden kannst. Wenn nämlich $a [mm] \in [/mm] V$, $a [mm] \not= [/mm] 0$ mit $f(a) = -a$ existiert, dann ist auf jeden Fall $a [mm] \notin [/mm] H$, also ist [mm] $(h_1, \ldots, h_{n-1}, [/mm] a)$ eine Basis von $V$ für jede Basis [mm] $(h_1, \ldots, h_{n-1})$ [/mm] von $H$.
Dann kannst Dir Dein Skalarprodukt einfach definieren, indem Du diese Basis zu einer ONB machst - der Rest folgt von allein.
Wie aber findet man diesen Eigenvektor? Naja, da $f$ idempotent ist, kann $f$ nur die Eigenwerte 1 und -1 haben. Da [mm] $f|_H [/mm] = [mm] \id_H$ [/mm] gilt, folgt schon, dass $(T - [mm] 1)^{n-1}$ [/mm] das char. Polynom [mm] $\chi_f(T)$ [/mm] teilt. Also gibt es nur zwei Möglichkeiten, wie dieses Polynom aussieht:
1) [mm] $\chi_f(T) [/mm] = (T - [mm] 1)^{n-1} \cdot [/mm] (T + 1)$ In dem Fall bist nach obigen Überlegungen fertig.
2) [mm] $\chi_f(T) [/mm] = (T - [mm] 1)^n$. [/mm] Diesen Fall mußt Du zum Widerspruch führen. Aber Du weißt schon, dass $f$ in diesem Fall nicht diagonalisierbar sein kann, da dann $f = [mm] \id_V$ [/mm] gelten würde. Kannst Du zeigen, dass in diesem Fall die Voraussetzung $f [mm] \circ [/mm] f = [mm] \id_V$ [/mm] verletzt ist? 
Viel Erfolg!
Lars
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