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hallo liebe Mathefreunde,
mein Lin-Alg-zettel versucht gerade, mir den Sonntag zu vermiesen, vielleicht könnt ihr ja helfen, das das nicht von Erfolg gekrönt sein wird....
Ich habe folgende Aufgabe:
Sei V die Menge der beschränkten Folgen reeler Zahlen, zeige hierfür:
a) Durch [mm] s((a_{n})_{n \in \IN}, (b_{n})_{n \in \IN}) [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}*b_{n}}{n^2} [/mm] ist ein Sklalarprodukt auf V definiert
b) Es gibt eienn echten Unterraum U von V mit [mm] U^\perp [/mm] = {0}
Mir ist klar, das ich ohne Analysis nicht weiterkomm, das sollte auch nicht das Problem sein... als Hinweis kam noch, das das Majorantenkriterium zu benutzen sei.. das Verwirrrt mich in diesem Zudsammenhang aber mehr, als es hilft...
Wer kann ein bißchen Licht ins Dunkel bringen???
Vielen Dank schonmal...
Biene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 05.06.2005 | | Autor: | Nam |
a) hier musst du zuersteinmal zeigen, dass [mm]s(a_n, b_n)[/mm] wohldefiniert ist, d. h. du musst zeigen, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}\cdot{}b_{n}}{n^2}[/mm] für alle [mm]a_n, b_n \in V[/mm] konvergiert, also aus [mm]\IR[/mm] ist.
Das geht mit dem Majorantenkriterium. Denn sind [mm]a_n, b_n[/mm] beschränkt, so ist sicher auch [mm]a_n * b_n =: c_n[/mm] beschränkt. Es gibt also ein [mm]C > 0[/mm], so dass [mm]\forall \; n \in \IN: \; c_n \leq C[/mm]. Also gilt:
[mm]\frac{c_n}{n^2} \leq \frac{C}{n^2}[/mm]. Damit hast du eine konvergente Majorante gefunden, und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{c_n}{n^2} = \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}\cdot{}b_{n}}{n^2}[/mm] ist konvergent.
Anschliessend musst du noch die Bilinearität, Symetrie und positive Definitheit von s zeigen. Also
i) [mm]s(a_n + b_n, c_n) = s(a_n, c_n) + s(b_n, c_n)[/mm] und [mm]s(k*a_n, b_n) = k*s(a_n, b_n)[/mm] und ebenso im zweiten Argument (!).
ii) [mm]s(a_n, b_n) = s(b_n, a_n)[/mm]
iii) [mm]s(a_n, a_n) \geq 0[/mm]
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Hallo!
Definiere den Unterraum $U$ als die Menge aller Folgen, die nur endlich viele von $0$ verschiedene Glieder hat. Dann liegt $U$ dicht in $V$, also ist [mm] $U^\bot=\{0\}$.
[/mm]
Gruß, banachella
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