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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 So 06.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | " Spektrum eines Operators T ist die Menge aller Elemente [mm] \lambda \in \IC, [/mm] für die die Differenz des Operators mit [mm] \lambda-fachen [/mm] der identische Abb. [mm] (T-\lambda) [/mm] NICHT BESCHRÄNKT INVERTIERBAR ist" ( Auszug aus Wiki "Spektrum") |
Hallo,
ich habe eine kleines Problem zum Verständnis und ich hoffe Ihr könnt sie beseitigen.
Was ist genau mit "nicht beschränkt invertierbar" gemeint bzw. bezieht sich das "NICHT" auf die Beschränkheit oder/und Invertierbarkeit ?
Invertierbarkeit ist klar : [mm] (T-\lambda) [/mm] ist invertierbar falls gilt [mm] det(T-\lambda)\not=0 [/mm] ist
Und was meint man mit " beschränkte Resolvente"?
resolvente ist folgend definiert: [mm] R(T,\lambda):=(T-\lambda)^{-1}, [/mm] d.h ist Inverse zum [mm] (T-\lambda)
[/mm]
Könnt Ihr es mir evtl. an einen Beispiel erklären.
Ihr bin für jede Hilfe dankbar
Gruß,
mimo1
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Hallo,
> " Spektrum eines Operators T ist die Menge aller Elemente
> [mm]\lambda \in \IC,[/mm] für die die Differenz des Operators mit
> [mm]\lambda-fachen[/mm] der identische Abb. [mm](T-\lambda)[/mm] NICHT
> BESCHRÄNKT INVERTIERBAR ist" ( Auszug aus Wiki
> "Spektrum")
> Hallo,
>
> ich habe eine kleines Problem zum Verständnis und ich
> hoffe Ihr könnt sie beseitigen.
>
> Was ist genau mit "nicht beschränkt invertierbar" gemeint
> bzw. bezieht sich das "NICHT" auf die Beschränkheit
> oder/und Invertierbarkeit ?
Nicht beschrämkt-invertierbar, wie nicht stetig differenzierbar. Also nicht gleichzeitig beschränkt und invertierbar.
> Invertierbarkeit ist klar : [mm](T-\lambda)[/mm] ist invertierbar
> falls gilt [mm]det(T-\lambda)\not=0[/mm] ist
Wie willst du für einen beliebigen (u.U. nicht-linearen) Operator eine Determinante definieren? Und noch schlimmer: Selbst für T linear, wie willst du auf einem unendlich dimensionalen Vektorraum eine Determinante definieren?
> Und was meint man mit " beschränkte Resolvente"?
> resolvente ist folgend definiert:
> [mm]R(T,\lambda):=(T-\lambda)^{-1},[/mm] d.h ist Inverse zum
> [mm](T-\lambda)[/mm]
Existiert für [mm] $\lambda \in \mathbb [/mm] C$ die Abb. [mm] $(T-\lambda id)^{-1}$ [/mm] und ist beschränkt, so nennt man diese Abb. eine beschränkte Resolvente von T. Bsp. wären z.B. für lineare Abb.f über einem endlich dim. VR [mm] $f-\lambda [/mm] id$, falls [mm] $\lambda$ [/mm] kein Eigenwert.
> Könnt Ihr es mir evtl. an einen Beispiel erklären.
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> Ihr bin für jede Hilfe dankbar
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> Gruß,
> mimo1
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