Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Spule DGL 1. Ordnung - MatheRaum - Mathe-Forum - Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft für Mathematik

Ein Projekt von vorhilfe.de

Das gesammelte Wissen der Vorhilfe
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen...
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Spule DGL 1. Ordnung

Spule DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Spule DGL 1. Ordnung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:03 Do 28.02.2019
Autor:	hase-hh

Aufgabe

 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL für die Stromstärke in einer Spule, für den Anfangswert I(0) = 0.

Es gilt: 

[mm] U_{ind} [/mm] = -L * [mm] \bruch{d I(t)}{dt}
 [/mm]

I(t) = [mm] \bruch{U + U_{ind}}{R} [/mm]

Moin Moin,

meine Frage ist, wie ich hier am einfachsten die Lösung der DGL finden kann.

I(t) = [mm] \bruch{U + U_{ind}}{R} [/mm]

I(t) = [mm] \bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}* \bruch{d I(t)}{dt} [/mm]

I(t) = [mm] \bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}* [/mm]  I ' (t)

Richtig?

1. Idee

Wenn I(0) = 0  der Anfangswert ist, dann folgt daraus

0 = [mm] \bruch{U}{R} -\bruch{L*}{R}* [/mm] I ' (0)

I ' (0) =  [mm] \bruch{U}{L} [/mm]

Richtig?

2.  Idee   zur Lösung der DGL

I(t) = [mm] \bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}* [/mm]  I ' (t)

I(t)  + [mm] \bruch{L}{R}* [/mm]  I ' (t) = [mm] \bruch{U}{R} [/mm]

2.1.  Lösen der homogenen DGL

I(t)  + [mm] \bruch{L}{R}* [/mm]  I ' (t) = 0

I(t) = [mm] c*e^{at} [/mm]    =>  I ' (t) = [mm] a*c*e^{at} [/mm]

c = [mm] \bruch{U}{L} [/mm]   s.o.

c*e{at} = [mm] -\bruch{L}{R}*a*c*e^{at} [/mm]

1 = [mm] -\bruch{L}{R}*a [/mm]

a = - [mm] \bruch{R}{L} [/mm]

=  >  I(t) = [mm] \bruch{U}{R} [/mm] - [mm] \bruch{U}{L}*\bruch{-R}{L}*e^{-\bruch{R}{L}*t} [/mm]

Ist das soweit richtig? Oder muss ich da anders vorgehen?

... und wie komme ich dann zur speziellen Lösung?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Bezug

Spule DGL 1. Ordnung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:09 Do 28.02.2019
Autor:	HJKweseleit

> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL für die
> Stromstärke in einer Spule, für den Anfangswert I(0) =
> 0.
>
> Es gilt:
>
> [mm]U_{ind}[/mm] = -L * [mm]\bruch{d I(t)}{dt}[/mm]
>
>
> I(t) = [mm]\bruch{U + U_{ind}}{R}[/mm]
>  Moin Moin,
>
> meine Frage ist, wie ich hier am einfachsten die Lösung
> der DGL finden kann.
>
>
> I(t) = [mm]\bruch{U + U_{ind}}{R}[/mm]
>
> I(t) = [mm]\bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}* \bruch{d I(t)}{dt}[/mm]
>
>
> I(t) = [mm]\bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t)
>
>
> Richtig?

>
>
> 1. Idee
>
> Wenn I(0) = 0  der Anfangswert ist, dann folgt daraus
>
>
> 0 = [mm]\bruch{U}{R} -\bruch{L*}{R}*[/mm] I ' (0)
>
>
> I ' (0) =  [mm]\bruch{U}{L}[/mm]
>
>
> Richtig?

- Du solltest aber besser die Randbedingung zuletzt einsetzen, nachdem du die Diffgl. gelöst hast.
>
>
> 2.  Idee   zur Lösung der DGL
>
> I(t) = [mm]\bruch{U}{R} -\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t)
>
> I(t)  + [mm]\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t) = [mm]\bruch{U}{R}[/mm]
>
> 2.1.  Lösen der homogenen DGL
>
> I(t)  + [mm]\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t) = 0
>
> I(t) = [mm]c*e^{at}[/mm]    =>  I ' (t) = [mm]a*c*e^{at}[/mm]

>
>
> c = [mm]\bruch{U}{L}[/mm]   s.o.

[mm] \red{a}*c [/mm] = [mm] \bruch{U}{L} [/mm]
>
>
> c*e{at} = [mm]-\bruch{L}{R}*a*c*e^{at}[/mm]

>
>
> 1 = [mm]-\bruch{L}{R}*a[/mm]
>
> a = - [mm]\bruch{R}{L}[/mm]

>
>

----------------- ab hier schlägt der Fehler durch --------

> =  >  I(t) = [mm]\bruch{U}{R}[/mm] -

> [mm]\bruch{U}{L}*\bruch{-R}{L}*e^{-\bruch{R}{L}*t}[/mm]
>
>

----------------------------------------------------------
> Ist das soweit richtig? Oder muss ich da anders vorgehen?
>
> ... und wie komme ich dann zur speziellen Lösung?
>
>

Bis auf den Fehler ist es bis zu "ab hier schlägt der Fehler durch" richtig. Ich zeige dir mal den eleganteren Weg:

Den 1. Weg lasse ich zunächst weg.

Du hattest beim 2. Weg

I(t)  + [mm]\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t) = [mm]\bruch{U}{R}[/mm]

Homogene Gleichung: I(t)  + [mm]\bruch{L}{R}*[/mm]  I ' (t) = 0

Ansatz: [mm] I(t)=c*e^{at} [/mm]

Einsetzen in die  homogene Gleichung: [mm] c*e^{at}+\bruch{L}{R}*a*c*e^{at}=0 [/mm]
Daraus folgt  [mm] a=-\bruch{R}{L} [/mm] wie bei dir oben.

Für die inhomogene Gleichung findest du sofort eine spezielle Lösung: Da die rechte Seite eine Konstante ist, kannst du einfach mal ausprobieren, ob I(t) nicht auch konstant sein könnte. Dann wäre I'(t)=0 und [mm] I(t)=\bruch{U}{R}. [/mm] Also ist das eine spezielle Lösung. Diese hinzuaddiert gibt nun

[mm] I(t)=c*e^{-\bruch{R}{L}t}+\bruch{U}{R} [/mm]

Jetzt erst setzt du die Randbedingung I(0)=0 ein:

[mm] I(0)=c+\bruch{U}{R}=0 \Rightarrow c=-\bruch{U}{R} [/mm] und damit

[mm] I(t)=\bruch{U}{R}*(1-e^{-\bruch{R}{L}t}) [/mm]

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien