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| Aufgabe | Sei K ein Simplizialkomplex. Dann heißt die Zahl
[mm] \dim{}K:=\sup\{n\in\IZ|\ K\text{ besitzt ein n-Simplex}\}
[/mm]
Dimension von K, falls K nichtleer ist. Falls K leer ist, setzt man
[mm] \dim{}K=-1
[/mm]
Sei p eine Ecke von K. Dann heißt die Zahl
[mm] \dim_pK:=\sup\{n|\ K\text{ besitzt ein n-Simplex mit der Ecke }p\}
[/mm]
bzw. die Zahl -1, falls die betrachtete Menge leer ist, lokale Dimension von K im Punkt p.
a)
Zeigen Sie, der Simplexstern von p in K
[mm] st_pK:=\{s\in K|\ s\text{ ist Seite eines Simplex von }K \text{ mit der Ecke }p\}
[/mm]
ist ein Teilkomplex von K mit der Dimension
[mm] \dim{}st_pK=\dim_pK
[/mm]
b)
Der Rand des Simplexsterns von p in K,
[mm] (st_pK)^*:=\{s\in st_pK|\ p\notin{s}\}
[/mm]
ist ein Teilkomplex von st_pK der Dimension
[mm] \dim(st_pK)^*=\dim_pK-1 [/mm] |
Hi,
jo, obiges ist mal wieder zu lösen. Schauen wir mal.
Erst einmal zu a)
Zu zeigen ist also, dass zunächst st_pK ein Teilkomplex von K ist. Man muss also prüfen, dass st_pK selbst ein Komplex ist, und die Menge st_pK in K liegt.
1) [mm] st_pK\subseteq{K} [/mm] ist geschenkt.
2) z.z.: [mm] v\in{st_pK}\in{V(st_pK)}\Rightarrow \{v\}\in{st_pK}
[/mm]
3) Weiter zu zeigen: Ist s eine Seite eines Simplex von $st_pK$, dann ist der Simplex in $st_pK$
4) z.z.: Sind s und s' zwei Simplices von $st_pK$, so ist [mm] s\cap{s'} [/mm] Simplex von $st_pK$
Ja, liege ich denn damit erst einmal richtig?
Außerdem weiß ich nicht so recht, wie ich das notieren soll. Vielleicht kann mir ja jemand mal den ersten Schritt machen, bzw. erst einmal auf die Sprünge helfen...
Das wäre super von euch. Vielen Dank.
Ich wünsche euch einen schönen Sonntag!
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Eine Menge $ K $ von Simplizes heißt doch Simplizialkomplex, wenn mit $ [mm] s\in [/mm] K $ auch jede nichtleere Teilmenge von $ s$ in $ K $ liegt. Sei also $ [mm] s\in st_p [/mm] K $. Dann existiert ein Simplex $ [mm] S\in [/mm] K $ mit Seite $ s$ das heißt $ [mm] s\subseteq [/mm] S $ und $ [mm] p\in [/mm] S $. Ist nun $ [mm] s'\subseteq [/mm] s $ eine nichtleere Teilmenge, so gilt ja auch $ [mm] s'\subseteq S\ni [/mm] p $, also $ [mm] s'\in st_p [/mm] K $.
Oder hast du andere Definitionen vorliegen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Ich denke übrigens, dass du mittlerweile im Topologie-Forum besser aufgehoben bist.
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