Stetigkeit Äquivalenzumformung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Do 13.12.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Sei f:]a,b[ [mm] \rightarrow \IR [/mm] stetig.
a) Seien [mm] -\infty [/mm] < a < b < [mm] \infty. [/mm] Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) f ist gleichmäßig stetig
(ii) Es gibt eine stetige Funktion (f tilde) :[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] mit f(x) für alle x [mm] \in [/mm] ]a,b[.
(iii) Die Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x) und [mm] \limes_{a\rightarrow\ b} [/mm] f(x) existieren
b) Zeigen Sie, dass im Fall a= [mm] -\infty [/mm] und [mm] b=\infty [/mm] gilt (iii) [mm] \rightarrow [/mm] (i), aber dass (i) [mm] \rightarrow [/mm] (iii) selbst für beschränkte Funktionen im Allgemeinen falsch ist. |
Hi,
wir sitzen gerad an dieser aufgabe und haben es mit einem Ringschluss versucht: also zu zeigen, dass aus (i) [mm] \rightarrow [/mm] (ii), (ii) [mm] \rightarrow [/mm] (iii) und (iii) [mm] \rightarrow [/mm] (i) folgt.
a) wir sind gerad beim letzten Schritt (iii) [mm] \rightarrow [/mm] (i).
Der Ansatz: Sei Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x) und [mm] \limes_{a\rightarrow\ b} [/mm] f(x) gegeben. Dann existieren konvergente Folgen [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x) und [mm] \limes_{a\rightarrow\ b} [/mm] f(x)
Wir haben uns überlegt, dass man es vllt mit der Definition eines Berührpunktes einer Menge zeigen könnte, also dass aus a und b Berührpunkte von [a,b] [mm] \gdw [/mm] a und b sind Berührpunkte von ]a,b[.
Wir haben uns mehrere Sachen überlegt und sogleich wieder verworfen, z.B. dass über konvergente Teilfolgen die Stetigkeit gezeigt werden könne und daraus, dann die gleichmäßige Stetigkeit, aber das hat uns alles irgendwie nicht weitergebracht.
Oder kann man hier den Zwischenwertsatz benutzen? ;)
Könnt ihr uns richtungsweisende Hinweise geben?
b) Es gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f(x)=\infty, \limes_{x\rightarrow\infty} f(x)=-\infty, [/mm] d.h. man kann also Stellen a<b finden f(a) < 0 und f(b) > 0. (vgl. Zwischenwertsatz). Deshalb gibt es ein p [mm] \in [/mm] [a,b] mit f(p)=0.
Das war (iii) [mm] \rightarrow [/mm] (i).
Für (i) [mm] \rightarrow [/mm] (iii) muss ich doch nur ein Gegenbeispiel zeigen, um zu zeigen dass die Funktion im Allgemeinen falsch ist.
Auch da hoffen wir auf Hinweise, weil uns partou kein Beispiel einfällt.
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Fr 14.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f:]a,b[ [mm]\rightarrow \IR[/mm] stetig.
> a) Seien [mm]-\infty[/mm] < a < b < [mm]\infty.[/mm] Zeigen Sie, dass
> folgende Aussagen äquivalent sind:
>
> (i) f ist gleichmäßig stetig
> (ii) Es gibt eine stetige Funktion (f tilde) :[a,b]
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] mit f(x) für alle x [mm]\in[/mm] ]a,b[.
> (iii) Die Grenzwerte [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm] f(x) und
> [mm]\limes_{a\rightarrow\ b}[/mm] f(x) existieren
> b) Zeigen Sie, dass im Fall a= [mm]-\infty[/mm] und [mm]b=\infty[/mm] gilt
> (iii) [mm]\rightarrow[/mm] (i), aber dass (i) [mm]\rightarrow[/mm] (iii)
> selbst für beschränkte Funktionen im Allgemeinen falsch
> ist.
>
>
>
> Hi,
>
> wir sitzen gerad an dieser aufgabe und haben es mit einem
> Ringschluss versucht: also zu zeigen, dass aus (i)
> [mm]\rightarrow[/mm] (ii), (ii) [mm]\rightarrow[/mm] (iii) und (iii)
> [mm]\rightarrow[/mm] (i) folgt.
>
> a) wir sind gerad beim letzten Schritt (iii) [mm]\rightarrow[/mm]
> (i).
>
> Der Ansatz: Sei Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm] f(x)
> und [mm]\limes_{a\rightarrow\ b}[/mm] f(x) gegeben. Dann existieren
> konvergente Folgen [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm] f(x) und
> [mm]\limes_{a\rightarrow\ b}[/mm] f(x)
>
> Wir haben uns überlegt, dass man es vllt mit der
> Definition eines Berührpunktes einer Menge zeigen könnte,
> also dass aus a und b Berührpunkte von [a,b] [mm]\gdw[/mm] a und b
> sind Berührpunkte von ]a,b[.
>
> Wir haben uns mehrere Sachen überlegt und sogleich wieder
> verworfen, z.B. dass über konvergente Teilfolgen die
> Stetigkeit gezeigt werden könne und daraus, dann die
> gleichmäßige Stetigkeit, aber das hat uns alles irgendwie
> nicht weitergebracht.
>
> Oder kann man hier den Zwischenwertsatz benutzen? ;)
>
> Könnt ihr uns richtungsweisende Hinweise geben?
Setze A:= $ [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] $ f(x) und $ [mm] B:=\limes_{x\rightarrow\ b} [/mm] $ f(x)
Wir definieren g:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] durch:
g(x(:=f(x) für x [mm] \in [/mm] ]a,b[, g(a):=A und g(b):=B
Dann ist g auf [a,b] stetig und damit dort auch glm. stetig.
Hilft das ?
>
> b) Es gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f(x)=\infty, \limes_{x\rightarrow\infty} f(x)=-\infty,[/mm]
> d.h. man kann also Stellen a<b finden f(a) < 0 und f(b) >
> 0. (vgl. Zwischenwertsatz). Deshalb gibt es ein p [mm]\in[/mm] [a,b]
> mit f(p)=0.
>
> Das war (iii) [mm]\rightarrow[/mm] (i).
>
> Für (i) [mm]\rightarrow[/mm] (iii) muss ich doch nur ein
> Gegenbeispiel zeigen, um zu zeigen dass die Funktion im
> Allgemeinen falsch ist.
>
> Auch da hoffen wir auf Hinweise, weil uns partou kein
> Beispiel einfällt.
Wie wärs mit f(x)=sin(x) ?
FRED
>
> mfg,
>
> zjay
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