Stetigkeit in EINEM Punkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Fangoria |
Hallo!
Ich brauche möglichst schnell ein Beispiel für eine Funktion, die in genau einem Punkt stetig ist und ansonsten unstetig. Ich kenne Funktionen, die in genau einem Punkt NICHT stetig sind, aber anders rum (gibt es denn sowas überhaupt)? Ich habe morgen eine Prüfung und heute durch Zufall von einem Kommilitonen erfahren, dass der Prüfer eventuell eine solche Funktion sehen will, ich habe aber absolut keine Ahnung, wie die aussehen soll. Ich hoffe, Ihr könnt mir weiterhelfen!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Ilka,
nimm
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in\IQ\\ x, & \mbox{für } x\in\IR-\IQ \end{cases}
[/mm]
und betrachte [mm] x_0=0.
[/mm]
Volker
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Gibt es eine solche Funktion auch auf [mm] \IR? [/mm] Wie könnte eine Funktion aussehen, die in genau n Punkten stetig ist? Bzw. wie müsste man hier ein Beispiel begründen?
Danke schon einmal im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 So 28.10.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gibt es eine solche Funktion auch auf [mm]\IR?[/mm]
Eine solche hat Volker doch angegeben.
> Wie könnte eine
> Funktion aussehen, die in genau n Punkten stetig ist? Bzw.
> wie müsste man hier ein Beispiel begründen?
Definiere [mm] $\varphi_x [/mm] : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $t [mm] \mapsto \begin{cases} t - x & \text{wenn } t - x \in \IR \setminus \IQ, \\ 0 & \text{wenn } t - x \in \IQ \end{cases}$ [/mm] fuer $x [mm] \in \IR$. [/mm] Dann ist [mm] $\varphi_x$ [/mm] genau in $x$ stetig und sonst nirgendwo.
Wenn du jetzt Punkte [mm] $x_1 [/mm] < [mm] \dots [/mm] < [mm] x_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] hast, dann definiere [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] durch
* [mm] $\varphi(t) [/mm] = [mm] \varphi_{x_1}(t)$ [/mm] fuer $t [mm] \in (-\infty, \frac{x_1+x_2}{2}]$,
[/mm]
* [mm] $\varphi(t) [/mm] = [mm] \varphi_{x_2}(t)$ [/mm] fuer $t [mm] \in (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{x_2+x_3}{2})$,
[/mm]
* [mm] $\varphi(t) [/mm] = [mm] \varphi_{x_3}(t)$ [/mm] fuer $t [mm] \in (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{x_3+x_4}{2})$,
[/mm]
* ...
* [mm] $\varphi(t) [/mm] = [mm] \varphi_{x_{n-1}}(t)$ [/mm] fuer $t [mm] \in (\frac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}, \frac{x_{n-1}+x_n}{2})$,
[/mm]
* [mm] $\varphi(t) [/mm] = [mm] \varphi_{x_n}(t)$ [/mm] fuer $t [mm] \in (\frac{x_{n-1}+x_n}{2}, \infty)$.
[/mm]
Dann ist [mm] $\varphi$ [/mm] genau in [mm] $x_1, \dots, x_n$ [/mm] stetig, aber sonst nirgendwo.
Um das zu verstehen, versuch erstmal zu verstehen die die Funktion [mm] $\varphi_x$ [/mm] aussieht, dann wie [mm] $\varphi$ [/mm] aussieht, und dann untersuche die Punkte wo das schief gehen koennte (naemlich die [mm] $\frac{x_i + x_{i+1}}{2}$).
[/mm]
LG Felix
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Danke! Ich werde versuchen, es nachzuvollziehen und sonst evtl. noch einmal nachfragen!
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