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| Aufgabe | Seien X,Y topologische Räume, X Hausdorffsch und f:X [mm] \to [/mm] Y sei eine Abbildung mit Graf [mm] F(x)=\{(x,f(x)) | x\in X \}\subseteq X\times [/mm] Y. Zeigen Sie, dass f stetig ist, falls eine der beiden folgenden Voraussetzungen erfüllt ist:
1) F(x) ist kompakt
2) F(x) ist abgeschlossen und Y ist kompakt. |
Hi, habe ein kleines Problem mit dem Verständnis dieser Aufgabe. Mir gehts gar nicht um die Lösung, denn die habe ich. Aber ich versteh die Aufgabenstellung gar nicht so richtig.
Seien X,Y topologische Räume, X Hausdorffsch und f:X [mm] \to [/mm] Y .... das ist ja noch klar, aber was bedeutet dann - eigentlich eine Abbildung mit Graf [mm] F(x)=\{(x,f(x)) | x\in X \}\subseteq X\times [/mm] Y - ?? Das versteh ich nicht so, was dieser Ausdruck überhaupt sagen soll.
Und dann nochmal ne frage zum beweis, den die wie folgt anfangen:
Sei B eine abgeschlossen Teilmenge von Y. In jeden der beiden Fälle 1) und 2) werden wir zeigen, dass [mm] f^{-1}(B) [/mm] eine abgeschlossen Teilmenge in X ist.
Das versteh ich auch nicht so, weil es gibt ja einen Satz:
f ist stetig [mm] \gdw [/mm] Urbilder offener Mengen offen sind. Hier ist aber nicht die Rede von abgeschlossen, oder kann man das ganze auch umdrehen in:
f ist stetig [mm] \gdw [/mm] Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind.
Wäre nett, wenn mir jemand das erklären könnte.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Fr 18.07.2008 | | Autor: | bjochen |
Hallo jaruleking,
> Hi, habe ein kleines Problem mit dem Verständnis dieser
> Aufgabe. Mir gehts gar nicht um die Lösung, denn die habe
> ich. Aber ich versteh die Aufgabenstellung gar nicht so
> richtig.
>
> Seien X,Y topologische Räume, X Hausdorffsch und f:X [mm]\to[/mm] Y
> .... das ist ja noch klar, aber was bedeutet dann -
> eigentlich eine Abbildung mit Graf [mm]F(x)=\{(x,f(x)) | x\in X \}\subseteq X\times[/mm]
> Y - ?? Das versteh ich nicht so, was dieser Ausdruck
> überhaupt sagen soll.
F(x) ist einfach die Graph-Abbildung.
Ein Beispiel: f(x) = [mm] x^2
[/mm]
Die Graph-Abbildung ist:
F(x) = [mm] \vektor{x \\ x^2} [/mm]
Du definierst einfach eine Abbildung die als weitere Komponente das Bild von x unter f hat.
D.h. das Bild von F lebt im [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR...d.h. [/mm] im [mm] \IR^2
[/mm]
z.B. in der Schule.
"Das Bild der Funktion f sieht so aus wie eine Parabel."
Aber das was man oft einfach so zeichnet ist nich das Bild von f sondern der Graph von f.
Denn man zeichnet ja im [mm] \IR^2 [/mm] und jeder Punkt auf dem "Graphen" hat ja die Koordinate: [mm] \vektor{x \\ x^2} [/mm]
Genauso kann man sich das hier vorstellen.
> Und dann nochmal ne frage zum beweis, den die wie folgt
> anfangen:
>
> Sei B eine abgeschlossen Teilmenge von Y. In jeden der
> beiden Fälle 1) und 2) werden wir zeigen, dass [mm]f^{-1}(B)[/mm]
> eine abgeschlossen Teilmenge in X ist.
>
> Das versteh ich auch nicht so, weil es gibt ja einen Satz:
>
> f ist stetig [mm]\gdw[/mm] Urbilder offener Mengen offen sind. Hier
> ist aber nicht die Rede von abgeschlossen, oder kann man
> das ganze auch umdrehen in:
>
> f ist stetig [mm]\gdw[/mm] Urbilder abgeschlossener Mengen
> abgeschlossen sind.
Genau! Es gibt ja sehr viele Definition zur Stetigkeit. Eine weitere ist, dass alle Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen abgeschlossen sind. ;)
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> Wäre nett, wenn mir jemand das erklären könnte.
>
> Gruß
Hoffe ich konnte helfen. :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Sa 19.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
Ok danke dir, das war gut erklärt.
gruß
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