Stetigkeit von f(x)=x² < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie durch Anwendung der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Definitionen:
1. Die Funktion f : [mm] \IR \to \IR: [/mm] x [mm] \to x^{2} [/mm] ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. |
Ich suche das [mm] \delta. [/mm] Finde es leider nicht.
Ich bin soweit:
[mm] |f(x)-f(x_{0}| [/mm] = [mm] |x^{2} [/mm] - [mm] x_{0}^{2}| [/mm] = |x - [mm] x_{0}| [/mm] * |x + [mm] x_{0}| [/mm] = [mm] \delta
[/mm]
Dann wäre [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{|x + x_{0}|}.
[/mm]
Aber [mm] \delta [/mm] darf ja nicht von x abhängen.
Wie mache ich weiter?
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Hallo Susanne,
> Zeigen Sie durch Anwendung der [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] -
> Definitionen:
> 1. Die Funktion f : [mm]\IR \to \IR:[/mm] x [mm]\to x^{2}[/mm] ist stetig,
> aber nicht gleichmäßig stetig.
> Ich suche das [mm]\delta.[/mm] Finde es leider nicht.
>
> Ich bin soweit:
>
> [mm]|f(x)-f(x_{0}|[/mm] = [mm]|x^{2}[/mm] - [mm]x_{0}^{2}|[/mm] = |x - [mm]x_{0}|[/mm] * |x +
> [mm]x_{0}|[/mm] = [mm]\delta[/mm]
>
> Dann wäre [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\varepsilon}{|x + x_{0}|}.[/mm]
> Aber
> [mm]\delta[/mm] darf ja nicht von x abhängen.
Genau!
Nimm mal o.B.d.A. an, dass [mm] $|x-x_0|<1$
[/mm]
Dann ist [mm] $|x|<1+|x_0|$
[/mm]
Wieso? (bedenke [mm] $|x|=|x+x_0-x_0|$ [/mm] - alter Trick: addieren, subtrahieren, Dreiecksungleichung)
Damit kannst du dein [mm] $\delta$ [/mm] als [mm] $\min\{1,...\}$ [/mm] wählen und hast ...
Alternativ kannst du mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] auch [mm] $|x+x_0|$ [/mm] abschätzen:
[mm] $|x|=|x+x_0-x_0|\le |x-x_0|+|x_0|<\delta+|x_0|$
[/mm]
Also [mm] $|x+x_0|\le |x|+|x_0|<\delta+2|x_0|$
[/mm]
Kommst du mit einem dieser Ansätze weiter (oder gar mit beiden?)
>
> Wie mache ich weiter?
Gruß
schachuzipus
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> Alternativ kannst du mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] auch [mm]|x+x_0|[/mm]
> abschätzen:
>
> [mm]|x|=|x+x_0-x_0|\le |x-x_0|+|x_0|<\delta+|x_0|[/mm]
Die letzte Zeile verstehe ich nicht wirklich.
Wieso heißt es |x| = [mm] |x+x_0-x_0|\le |x-x_0| [/mm] ....
Wie kann ich den rechten Ausdruck mit dem |x| gleichsetzen?
Wie kommt man darauf?
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Hallo nochmal,
> > Alternativ kannst du mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] auch [mm]|x+x_0|[/mm]
> > abschätzen:
> >
> > [mm]|x|=|x+x_0-x_0|\le |x-x_0|+|x_0|<\delta+|x_0|[/mm]
>
> Die letzte Zeile verstehe ich nicht wirklich.
Nun, die Dreiecksungleichung kennst du aber?
Also: [mm] $|x|=|x+0|=|x+\underbrace{x_0-x_0}_{=0}|=|(x-x_0)+x_0|\underbrace{\le}_{\triangle-Ungl.}|x-x_0|+|x_0|$ (\star)
[/mm]
Und mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] und [mm] (\star) [/mm] ist dann [mm] $|x|<\delta+|x_0|$
[/mm]
>
>
> Wieso heißt es |x| = [mm]|x+x_0-x_0|\le |x-x_0|[/mm] ....
>
> Wie kann ich den rechten Ausdruck mit dem |x|
> gleichsetzen?
> Wie kommt man darauf?
Das ist so ein Stndardtrick, den man sich unbedingt merken sollte, den kann man immer wieder gebrauchen:
"Addieren, subtrahieren, Dreiecksungleichung anwenden"
oder auch: "nahrhafte Null addieren" 
Gruß
schachuzipus
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Ist dann [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] - 2 [mm] |x_{0}|?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ist dann [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] - 2 [mm]|x_{0}|?[/mm]
>
Nein, wie kommst du darauf?
Du solltest uns an deinen Überlegungen teilhaben lassen, die Glaskugeln sind heute aus ...
LG
schachuzipus
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Ah ich glaub jetzt hab ichs:
Also:
[mm] |f(x)-f(x_{0}|= |x^{2}-x_{0}^{2}| [/mm] = [mm] |x-x_{0}||x+x_{0}| [/mm] < [mm] \delta*|x-x_{0}|
[/mm]
[mm] \delta*|x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] * [mm] 2|x_{0}| [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \bruch{varepsilon}{2|x_{0}|}
[/mm]
So?
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Hallo nochmal,
> Ah ich glaub jetzt hab ichs:
>
> Also:
> [mm] $|f(x)-f(x_{0}|= |x^{2}-x_{0}^{2}| [/mm] = [mm] |x-x_{0}||x+x_{0}| [/mm] < [mm] \delta*\red{|x-x_{0}|}$
[/mm]
>
> [mm]\delta*|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] * [mm]2|x_{0}|[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta[/mm] = [mm]\bruch{varepsilon}{2|x_{0}|}[/mm]
>
> So?
Fast, allerdings stockt's in der 1.Zeile schon:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|\cdot{}|x+x_0|<\delta\cdot{}|x\red{+}x_0|$
[/mm]
Nun schaue dir nochmal die Abschätzung oben für [mm] $|x+x_0|$ [/mm] an, dann kommst du drauf.
Du bist nahe dran.
Ganz ähnlich und noch etwas einfacher geht's unter der Annahme, dass [mm] $|x-x_0|<1$ [/mm] ist ...
Also versuch's nochmal ...
Gruß
schachuzipus
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Oh vertippt:
Also:
[mm] |f(x)-f(x_{0}|= |x^{2}-x_{0}^{2}| [/mm] = [mm] |x-x_{0}||x+x_{0}| [/mm] < [mm] \delta*|x+x_{0}|
[/mm]
[mm] \delta*|x+x_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] * [mm] 2|x_{0}| [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2|x_{0}|}
[/mm]
aber so stimmts?
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Hallo nochmal,
> Oh vertippt:
>
> Also:
> [mm]|f(x)-f(x_{0}|= |x^{2}-x_{0}^{2}|[/mm] = [mm]|x-x_{0}||x+x_{0}|[/mm] < [mm]\delta*|x+x_{0}|[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\delta*|x+x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] * [mm]2|x_{0}|[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du wiederholst den Fehler ...
Dadurch wird es nicht richtiger.
Es gilt [mm] $|x+x_0|$ [/mm] abzuschätzen:
Nochmal: [mm] $|x+x_0|\le\red{|x|}+|x_0|$ [/mm] nach Dreiecksungleichung
[mm] $<\red{\delta+|x_0|}+|x_0|$ [/mm] das steht weiter oben
[mm] $=\delta+2|x_0|$
[/mm]
Damit insgesamt:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|<\delta\cdot{}\left(\delta+2|x_0|\right)$
[/mm]
Und das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein.
Löse also die Ungleichung [mm] $\delta\cdot{}\left(\delta+2|x_0|\right)<\varepsilon$ [/mm] nach [mm] $\delta$ [/mm] auf.
Wie gesagt, das ist etwas allgemeiner und kniffliger.
Wenn du - wie erwähnt - annimmst, dass [mm] $|x-x_0|<1$ [/mm] ist, wird die Konstruktion des [mm] $\delta$ [/mm] einfacher ...
>
> = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta[/mm] = [mm]\bruch{\varepsilon}{2|x_{0}|}[/mm]
>
> aber so stimmts?
Leider noch nicht
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Fr 10.01.2014 | | Autor: | huzein |
> Wenn du - wie erwähnt - annimmst, dass [mm]|x-x_0|<1[/mm] ist, wird
> die Konstruktion des [mm]\delta[/mm] einfacher ...
man sollte mal klar machen, weshalb es obdA genügt [mm] |x-x_0|<1 [/mm] zu betrachten. Denn immerhin heißt es in der [mm] \varepsilon-\delta-Definition, [/mm] dass die Abschätzung für jedes x aus dem Definitionsbereich der zu untersuchenden Funktion gelten soll.
Ich kann mir das nur so erklären, dass Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist und es daher genügt die Stetigkeit in einer Umgebung um [mm] x_0 [/mm] zu untersuchen. Dabei kann das [mm] \varepsilon [/mm] für die Umgebung U so klein gewählt werden, dass für alle [mm] x\in [/mm] U gilt [mm] |x-x_0|<1.
[/mm]
Zur Aufgabe, wenn auch schon 4 Jahre her^^
Ist die folgende Abschätzung korrekt:
Mit [mm] |x|=|x-x_0+x_0|\leq|x-x_0|+|x_0|
[/mm]
ist
[mm] |x^2-x_0^2|\leq |x+x_0||x-x_0|\leq \underbrace{|x-x_0|^2}_{\leq 1}+2\underbrace{|x-x_0|}_{\leq\delta}|x_0|\leq 1+2\delta |x_0|
[/mm]
und wähle [mm] \delta:=\delta(\varepsilon,x_0):=\dfrac{\varepsilon-1}{2|x_0|}.
[/mm]
Über eine Rückmeldung würde ich mich freuen.
Gruß,
huzein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Fr 10.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Wenn du - wie erwähnt - annimmst, dass [mm]|x-x_0|<1[/mm] ist, wird
> > die Konstruktion des [mm]\delta[/mm] einfacher ...
>
> man sollte mal klar machen, weshalb es obdA genügt
> [mm]|x-x_0|<1[/mm] zu betrachten. Denn immerhin heißt es in der
> [mm]\varepsilon-\delta-Definition,[/mm] dass die Abschätzung für
> jedes x aus dem Definitionsbereich der zu untersuchenden
> Funktion gelten soll.
>
> Ich kann mir das nur so erklären, dass Stetigkeit eine
> lokale Eigenschaft ist und es daher genügt die Stetigkeit
> in einer Umgebung um [mm]x_0[/mm] zu untersuchen. Dabei kann das
> [mm]\varepsilon[/mm] für die Umgebung U so klein gewählt werden,
> dass für alle [mm]x\in[/mm] U gilt [mm]|x-x_0|<1.[/mm]
>
> Zur Aufgabe, wenn auch schon 4 Jahre her^^
>
> Ist die folgende Abschätzung korrekt:
>
> Mit [mm]|x|=|x-x_0+x_0|\leq|x-x_0|+|x_0|[/mm]
> ist
> [mm]|x^2-x_0^2|\leq |x+x_0||x-x_0|\leq \underbrace{|x-x_0|^2}_{\leq 1}+2\underbrace{|x-x_0|}_{\leq\delta}|x_0|\leq 1+2\delta |x_0|[/mm]
>
> und wähle
> [mm]\delta:=\delta(\varepsilon,x_0):=\dfrac{\varepsilon-1}{2|x_0|}.[/mm]
>
> Über eine Rückmeldung würde ich mich freuen.
Deine Ungleichungen sind richtig. Du bist aber "übers Ziel hinausgeschossen".
Für [mm] \varepsilon [/mm] <1 ist Dein [mm] \delta [/mm] negativ !
Was machst Du im Falle [mm] x_0=0 [/mm] ?
FRED
>
> Gruß,
> huzein
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Fr 10.01.2014 | | Autor: | huzein |
ok dann betrachte gemachte Abschätzung für [mm] x_0\neq0.
[/mm]
Um [mm] \delta<0 [/mm] zu vermeiden, fällt mir im Augenbick nur ein, nicht die Abschätzung [mm] |x-x_0|<1 [/mm] zu betrachten, sondern
$$ [mm] |x^2-x_0^2|\leq |x+x_0||x-x_0|\leq \underbrace{|x-x_0|^2}_{\leq \delta^2}+2\underbrace{|x-x_0|}_{\leq\delta}|x_0|\leq \delta^2+2\delta |x_0| [/mm] $$
und dann mit
$$ [mm] \delta^2+2\delta |x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $$
nach [mm] $\delta$ [/mm] aufzulösen, was allerding etwas knifflig zu sein scheint. Andere Idee?
Falls [mm] x_0=0, [/mm] dann ist:
$$ [mm] |x^2|\leq \delta^2 [/mm] $$
und wähle [mm] $$\delta [/mm] := [mm] \sqrt{\varepsilon}.$$
[/mm]
Gruß,
huzein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 10.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Aus [mm] |x-x_0|<1 [/mm] folgt [mm] |x|<1+|x_0| [/mm] und damit
[mm] |x^2-x_0|^2 =|x-x_0|*|x+x_0| \le |x-x_0|(|x|+|x_0|) \le |x-x_0|(1+2|x_0|).
[/mm]
Es ist [mm] |x-x_0|(1+2|x_0|)< \varepsilon \gdw |x-x_0| <\bruch{\varepsilon}{1+2|x_0|}.
[/mm]
[mm] \delta:=\bruch{\varepsilon}{1+2|x_0|}.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Fr 10.01.2014 | | Autor: | huzein |
hervorragend, danke!
kannst du bitte noch kurz eine Rückmeldung geben zu:
> man sollte mal klar machen, weshalb es obdA genügt
> [mm]|x-x_0|<1[/mm] zu betrachten. Denn immerhin heißt es in der
> [mm]\varepsilon-\delta-Definition,[/mm] dass die Abschätzung für
> jedes x aus dem Definitionsbereich der zu untersuchenden
> Funktion gelten soll.
>
> Ich kann mir das nur so erklären, dass Stetigkeit eine
> lokale Eigenschaft ist und es daher genügt die Stetigkeit
> in einer Umgebung um [mm]x_0[/mm] zu untersuchen. Dabei kann das
> [mm]\varepsilon[/mm] für die Umgebung U so klein gewählt werden,
> dass für alle [mm]x\in[/mm] U gilt [mm]|x-x_0|<1.[/mm]
Ist das richtig argumentiert?
Gruß,
huzein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Fr 10.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> hervorragend, danke!
>
> kannst du bitte noch kurz eine Rückmeldung geben zu:
>
> > man sollte mal klar machen, weshalb es obdA genügt
> > [mm]|x-x_0|<1[/mm] zu betrachten. Denn immerhin heißt es in der
> > [mm]\varepsilon-\delta-Definition,[/mm] dass die Abschätzung für
> > jedes x aus dem Definitionsbereich der zu untersuchenden
> > Funktion gelten soll.
> >
> > Ich kann mir das nur so erklären, dass Stetigkeit eine
> > lokale Eigenschaft ist und es daher genügt die Stetigkeit
> > in einer Umgebung um [mm]x_0[/mm] zu untersuchen. Dabei kann das
> > [mm]\varepsilon[/mm] für die Umgebung U so klein gewählt werden,
> > dass für alle [mm]x\in[/mm] U gilt [mm]|x-x_0|<1.[/mm]
Am Ende ist der Fehler.
Nicht [mm] \epsilon, [/mm] sondern [mm] \delta.
[/mm]
>
> Ist das richtig argumentiert?
Allgemein, denke ich, dass du verstanden hast worum es geht, aber es nicht richtig formulieren kannst.
>
> Gruß,
> huzein
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Fr 10.01.2014 | | Autor: | huzein |
Ich habe [mm] \varepsilon [/mm] willkürlich gewählt. Hätte auch [mm] \delta [/mm] oder [mm] \alpha [/mm] oder was auch immer nehmen können. Man spricht halt im allgemeinen von [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebungen und daher habe ich das [mm] \varepsilon [/mm] gewählt. Damit ist natürlich nicht das [mm] \varepsilon [/mm] aus der Definition der Stetigkeit gemeint!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hervorragend, danke!
>
> kannst du bitte noch kurz eine Rückmeldung geben zu:
>
> > man sollte mal klar machen, weshalb es obdA genügt
> > [mm]|x-x_0|<1[/mm] zu betrachten. Denn immerhin heißt es in der
> > [mm]\varepsilon-\delta-Definition,[/mm] dass die Abschätzung für
> > jedes x aus dem Definitionsbereich der zu untersuchenden
> > Funktion gelten soll.
> >
> > Ich kann mir das nur so erklären, dass Stetigkeit eine
> > lokale Eigenschaft ist und es daher genügt die Stetigkeit
> > in einer Umgebung um [mm]x_0[/mm] zu untersuchen. Dabei kann das
> > [mm]\varepsilon[/mm] für die Umgebung U so klein gewählt werden,
> > dass für alle [mm]x\in[/mm] U gilt [mm]|x-x_0|<1.[/mm]
>
> Ist das richtig argumentiert?
wozu diese erneute Frage? Hast Du den Überblick über Deinen eigenen
Thread verloren?
Siehe hier (klick!)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok dann betrachte gemachte Abschätzung für [mm]x_0\neq0.[/mm]
> Um [mm]\delta<0[/mm] zu vermeiden, fällt mir im Augenbick nur ein,
> nicht die Abschätzung [mm]|x-x_0|<1[/mm] zu betrachten, sondern
> [mm]|x^2-x_0^2|\leq |x+x_0||x-x_0|\leq \underbrace{|x-x_0|^2}_{\leq \delta^2}+2\underbrace{|x-x_0|}_{\leq\delta}|x_0|\leq \delta^2+2\delta |x_0|[/mm]
>
> und dann mit
> [mm]\delta^2+2\delta |x_0| < \varepsilon[/mm]
> nach [mm]\delta[/mm]
> aufzulösen, was allerding etwas knifflig zu sein scheint.
was ist daran knifflig?
Bei
[mm] $\delta^2+2\delta |x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
könnte man natürlich sowas wie quadratische Ergänzung benutzen etc.
pp., aber man kann auch einfach sagen:
O.E. nehmen wir $0 < [mm] \delta \le [/mm] 1$ an. Dann gilt [mm] $\delta^2 \le \delta$ [/mm] und daher, dass
[mm] $\delta^2+2\delta |x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
sicher schon dann erfüllt ist, wenn
[mm] $\delta+2\delta |x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
gilt. Also reicht es, neben $0 < [mm] \delta \le [/mm] 1$ auch
$0 < [mm] \delta *(1+2|x_0|) [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
zu fordern - und das ist nicht schwer, etwa
[mm] $\delta:=\frac{1}{2}\min\{1,\tfrac{\varepsilon}{1+2|x_0|}\}$ [/mm] ($> [mm] 0\,$)
[/mm]
ist geeignet!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
zwei Ergänzungen:
> Hallo,
>
> > ok dann betrachte gemachte Abschätzung für [mm]x_0\neq0.[/mm]
> > Um [mm]\delta<0[/mm] zu vermeiden, fällt mir im Augenbick nur
> ein,
> > nicht die Abschätzung [mm]|x-x_0|<1[/mm] zu betrachten, sondern
> > [mm]|x^2-x_0^2|\leq |x+x_0||x-x_0|\leq \underbrace{|x-x_0|^2}_{\leq \delta^2}+2\underbrace{|x-x_0|}_{\leq\delta}|x_0|\leq \delta^2+2\delta |x_0|[/mm]
>
> >
> > und dann mit
> > [mm]\delta^2+2\delta |x_0| < \varepsilon[/mm]
> > nach [mm]\delta[/mm]
> > aufzulösen, was allerding etwas knifflig zu sein scheint.
>
> was ist daran knifflig?
> Bei
>
> [mm]\delta^2+2\delta |x_0| < \varepsilon[/mm]
>
> könnte man natürlich sowas wie quadratische Ergänzung
> benutzen etc.
willst Du auch mal versuchen, das durchzurechnen?
> pp., aber man kann auch einfach sagen:
> O.E. nehmen wir [mm]0 < \delta \le 1[/mm] an. Dann gilt [mm]\delta^2 \le \delta[/mm]
> und daher, dass
>
> [mm]\delta^2+2\delta |x_0| < \varepsilon[/mm]
>
> sicher schon dann erfüllt ist, wenn
>
> [mm]\delta+2\delta |x_0| < \varepsilon[/mm]
>
> gilt.
Das bedeutet: Aus [mm] $\delta+2\delta |x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] folgt
[mm] $\delta^2+2\delta |x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon.$
[/mm]
(Beachte dabei aber $0 < [mm] \delta \le [/mm] 1$; ohne diese Voraussetzung wir das i.a. falsch!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Fr 10.01.2014 | | Autor: | huzein |
hervorragend, danke!
kannst du bitte noch kurz eine Rückmeldung geben zu:
> man sollte mal klar machen, weshalb es obdA genügt
> [mm]|x-x_0|<1[/mm] zu betrachten. Denn immerhin heißt es in der
> [mm]\varepsilon-\delta-Definition,[/mm] dass die Abschätzung für
> jedes x aus dem Definitionsbereich der zu untersuchenden
> Funktion gelten soll.
>
> Ich kann mir das nur so erklären, dass Stetigkeit eine
> lokale Eigenschaft ist und es daher genügt die Stetigkeit
> in einer Umgebung um [mm]x_0[/mm] zu untersuchen. Dabei kann das
> [mm]\varepsilon[/mm] für die Umgebung U so klein gewählt werden,
> dass für alle [mm]x\in[/mm] U gilt [mm]|x-x_0|<1.[/mm]
Gruß,
huzein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo huzein,
> hervorragend, danke!
>
> kannst du bitte noch kurz eine Rückmeldung geben zu:
>
> > man sollte mal klar machen, weshalb es obdA genügt
> > [mm]|x-x_0|<1[/mm] zu betrachten. Denn immerhin heißt es in der
> > [mm]\varepsilon-\delta-Definition,[/mm] dass die Abschätzung für
> > jedes x aus dem Definitionsbereich der zu untersuchenden
> > Funktion gelten soll.
> >
> > Ich kann mir das nur so erklären, dass Stetigkeit eine
> > lokale Eigenschaft ist und es daher genügt die Stetigkeit
> > in einer Umgebung um [mm]x_0[/mm] zu untersuchen. Dabei kann das [mm]\red{\varepsilon}[/mm]
Du meinst [mm] $\delta$!
[/mm]
> > für die Umgebung U so klein gewählt werden,
> > dass für alle [mm]x\in[/mm] U gilt [mm]|x-x_0|<1.[/mm]
Du meinst es sicher richtig, ich formuliere es mal mit eigenen Worten:
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $x_0,$ [/mm] dann existiert zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta=\delta_{\epsilon,x_0} [/mm] > 0$ mit
[mm] ($\*$) [/mm] Für alle [mm] $x\,$ [/mm] des Def.-Bereichs gilt: [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ $\Rightarrow$ $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$ [/mm]
Jetzt überlegen wir, warum wir o.E. eigentlich $0 < [mm] \delta \le \delta_0$ [/mm] mit irgendeiner
(kleinen) Zahl dabei annehmen können:
Wenn in [mm] ($\*$) [/mm] dann [mm] $\delta \le \delta_0$ [/mm] erfüllt ist, ist ja schon alles in Butter. Wenn
noch nicht alles in Butter ist, also [mm] $\delta$ [/mm] aus [mm] ($\*$) [/mm] leider [mm] $\delta [/mm] > [mm] \delta_0$ [/mm] erfüllt,
so gilt aber auch für alle (im Def.-Bereich liegenden) [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta_0$ [/mm]
insbesondere [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta.$
[/mm]
Hier gilt also (kurznotiert!)
[mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta_0$ $\Rightarrow$ $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ $\Rightarrow$ $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon.$
[/mm]
Kurzgesagt: Wenn für alle [mm] $x\,$ [/mm] in einer [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] schon
stets [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gilt, dann gilt sicher auch in jeder noch kleineren
[mm] $\delta_0$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0\,,$ [/mm] dass
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Grund: Mit [mm] $U_\delta(x_0):=\{y:\;\;|y-x_0| < \delta\}$ [/mm] (wobei [mm] $\delta [/mm] > 0$) gilt:
Aus $0 < [mm] \delta_0 \le \delta$ [/mm] folgt
[mm] $U_{\delta_0}(x_0)\;\subseteq\;U_\delta(x_0).$
[/mm]
Übrigens kann man sich auch überlegen, dass man auch Stetigkeit in [mm] $x_0$ [/mm]
so formulieren könnte:
[mm] $f\,$ [/mm] heißt stetig in [mm] $x_0\,,$ [/mm] wenn es zu jedem || kleinen || [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ stets
ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt mit ...
Du kannst also auch, versuche mal, Dir das analog zu überlegen, immer
o.E. [mm] $\epsilon \le \epsilon_0$ [/mm] mit einem (kleinen, was immer man damit auch meinen will)
[mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ annehmen!
(P.S. Bei der letzten Überlegung ist "eine Definitionsgleichheit" gemeint - das
bedeutet, es ist eigentlich [kurz] zu zeigen, dass diese Definitionen gleichwertig
sind!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Sa 23.08.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo
ich habe mir die Aufgabe auch angeschaut und eine kleine Frage weil mir auch nicht klar war, warum man O.E. oder O.b.d.A. (?) (ich weiss immernoch nicht, wie man das unetrscheidet^^) [mm] \delta \le [/mm] 1 annehmen darf. Wenn ich das richtig verstehe, geht Marcel da in dem letzten Post hier drauf ein. [mm] \delta_0 [/mm] wäre dann hier das [mm] \delta \le [/mm] 1 im Stetigkeitsbeweis von [mm] x^2 [/mm] oder? Und man darf jetzt also da [mm] \delta \le [/mm] 1 annehmen, da (*) aus Marcels letzten Post erst recht gilt wenn man eine größere delta-Umgebung von [mm] x_0 [/mm] betrachtet?
Ist das so zu verstehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 23.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> ich habe mir die Aufgabe auch angeschaut und eine kleine
> Frage weil mir auch nicht klar war, warum man O.E. oder
> O.b.d.A. (?) (ich weiss immernoch nicht, wie man das
> unetrscheidet^^)
ob man "o.E." ("ohne Einschränkung") oder "o.B.d.A." ("ohne Beschränkung
der Allgemeinheit") sagt, ist egal, das ist Geschmackssache.
> [mm]\delta \le[/mm] 1 annehmen darf. Wenn ich das
> richtig verstehe, geht Marcel da in dem letzten Post hier
> drauf ein. [mm]\delta_0[/mm] wäre dann hier das [mm]\delta \le[/mm] 1 im
> Stetigkeitsbeweis von [mm]x^2[/mm] oder? Und man darf jetzt also da
> [mm]\delta \le[/mm] 1 annehmen, da (*) aus Marcels letzten Post erst
> recht gilt wenn man eine größere delta-Umgebung von [mm]x_0[/mm]
> betrachtet?
> Ist das so zu verstehen?
Nein, es gilt erst recht, wenn man eine KLEINERE [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] betrachtet!
In obigem Beispiel wäre [mm] $\delta_0=1\,.$
[/mm]
Ich mach's nochmal anders, ich orientiere mich jetzt nicht an der
Stetigkeitsdefinition, sondern formuliere aber etwas ähnliches, das
aber das Wesen der Überlegung oben widerspiegelt:
Angenommen, Du weißt, wobei im Folgenden ein [mm] $\delta_0 [/mm] > 0$ zuvor fest gewählt
worden sei:
1.)
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existiert ein [mm] $\delta=\delta_\epsilon [/mm] > 0$ so, dass
die Eigenschaft [mm] $E(x)\,$ [/mm] ist wahr für alle $|x| < [mm] \delta\,.$
[/mm]
Zu dieser Aussage äquivalent ist:
2.)
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existiert ein [mm] $\delta=\delta_\epsilon [/mm] > 0$ mit
die Eigenschaft [mm] $E(x)\,$ [/mm] ist wahr für alle $|x| < [mm] \min\{\delta,\;\delta_0\}\,.$
[/mm]
Kannst Du das beweisen?
Überlege Dir jetzt mal, dass die letzte Aussage gleichwertig ist zu:
3.)
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existiert ein [mm] $\delta=\delta_\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$so [/mm] dass gilt
die Eigenschaft [mm] $E(x)\,$ [/mm] ist wahr für alle $|x| < [mm] \delta$ [/mm] mit zudem $|x| < [mm] \delta_0\,.$
[/mm]
(Hier steckt mit drin, dass man *auch* "$|x| < [mm] \delta_0$" [/mm] fordert.)
Ich zeige mal die Gleichwertigkeit von 1.) und 2.):
"1.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 2.)"
Gelte 1.). Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Nach 1.) gilt mit dem [mm] $\delta$ [/mm] aus 1.):
[mm] $E(x)\,$ [/mm] ist wahr für alle $|x| < [mm] \delta\,.$
[/mm]
Falls nun [mm] $\delta_0 \ge \delta\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $E(x)\,$ [/mm] ist wahr für alle $|x| < [mm] \delta=\min\{\delta_0,\;\delta\}\,.$
[/mm]
Ist andererseits $0 < [mm] \delta_0 [/mm] < [mm] \delta\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $E(x)\,$ [/mm] ist wahr für alle $|x| < [mm] \delta_0=\min\{\delta_0,\;\delta\}\,,$
[/mm]
denn jedes $|x| < [mm] \delta_0$ [/mm] erfüllt (wegen [mm] $\delta_0 \le \delta$) [/mm] auch $|x| < [mm] \delta$ [/mm] (!!!) und damit ist [mm] $E(x)\,$ [/mm] wahr
(nach 1.)).
In allen Fällen gilt
[mm] $E(x)\,$ [/mm] ist wahr für alle $|x| < [mm] \min\{\delta_0,\;\delta\}\,.$
[/mm]
"2.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 1.)":
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen 2.) existiert ein [mm] $\delta'=\delta'_\epsilon [/mm] > 0$ mit
[mm] $E(x)\,$ [/mm] ist wahr für alle $|x| < [mm] \min\{\delta',\;\delta_0\}\,.$
[/mm]
Setze [mm] $\delta:=\delta_\epsilon:=\min\{\delta',\;\delta_0\}$ [/mm] und Du hast ein [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] wie in 1.) gewünscht/gefordert
ist, gefunden.
P.S. Die Ausdrucksweise "... gilt für alle $|x| < [mm] \ldots$..." [/mm] ist nur eine verkürzte
Sprechweise für "... gilt für alle [mm] $x\,$ ($\in [/mm] ...$) mit $|x| < [mm] \ldots$..."
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 So 24.08.2014 | | Autor: | drossel |
Achsoo ok, danke! Und danke, dass du das nochmal erklärt hast. Das ist dann jetzt geklärt, also genau andersrum, wie ich das erst verstanden habe.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 So 24.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Achsoo ok, danke! Und danke, dass du das nochmal erklärt
> hast.
kein Thema. Wenn man etwas immer so erklären könnte, dass alle es
direkt verstehen, gäbe es ja nur ein universelles Werk, wo das alles
drinsteht - quasi "die Weltformel als Buch verpackt". 
> Das ist dann jetzt geklärt, also genau andersrum, wie ich das erst
> verstanden habe.
Genau. Da Du das nun selbst erkannt hast, scheint es mir auch so, als
wenn Du es nun verstanden hast. Das ist schön zu hören.
Gruß,
Marcel
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