Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Fr 17.05.2013 | | Autor: | love |
Hallo Leute ich habe mal eine Frage ich muss zeigen,dass f im ursprung stetig ist.. Gegeben ist:
[mm] \bruch{x^6+y^6}{x^4+y^4} [/mm] ich setze die Polarkoordinaten ein. Es gilt dann [mm] x=r*cos(\gamma) y=r*cos(\gamma) x^4+y^4=r^4(cos^4(\gamma)+sin^4(\gamma))=r^4. [/mm] Meine erste Frage lautet ich habe gesehen,dass [mm] cos^2(\gamma)+sin^2(\gamma)= [/mm] 1 ist. warum ist das so? Oder unter welcher artikel, kann ich diese regel sehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Fr 17.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo love!
Es handelt sich hier um den "trigonometrischen Pythagoras".
Für jeden beliebigen Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] gilt: [mm] $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) [/mm] \ = \ 1$
Das kann man sich auch schnell anhand des Einheitskreises klar machen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 17.05.2013 | | Autor: | love |
ok danke:) Dann ist meine zweite Frage, kann ich die Stetigkeit auch anders für diese Funktion zeigen. Zb, kann ich,dass so machen,dass ich eine Folge finde und damit beweise. Also ich meine es so für die Folge (1/n,1/n)
[mm] \bruch{\bruch{1}{n^6}+\bruch{1}{n^6}}{\bruch{1}{n^4}+\bruch{1}{n^4}} [/mm] = [mm] 1/n^2 [/mm] und [mm] 1/n^2 [/mm] konvergiert ja gegen 0 deshalb stetig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Fr 17.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo love!
Das funktioniert so nicht. Du müsstest das ja für jede beliebige Folge zeigen. Und das wird eine Weile dauern.
Mit dem Folgenkriterium kann man nur eine Unstetigkeit zeigen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Fr 17.05.2013 | | Autor: | love |
war mein erster ansatz wenigstens richtig-?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Fr 17.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Nein. $ [mm] x^4+y^4=r^4(cos^4(\gamma)+sin^4(\gamma))=r^4. [/mm] $ Das letzte Gleichheitszeichen ist falsch.
Für solche Aufgaben benutzt man normalerweise Sätze über stetige Funktionen und behandelt dann nur noch die Stellen extra, an denen diese Sätze nicht greifen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Fr 17.05.2013 | | Autor: | love |
kann ich das mit der Differenzierbarkeit beweisen? Du hast ja gesagt, dass ich mit Sätzen beweisen soll. Wenn die Funktion diffbar ist daraus folgt ist stetig..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Fr 17.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Entschuldige bitte, ich habe eben noch einmal den ersten Satz der Aufgabe gelesen.
Es geht nur um einen Punkt, den Ursprung.
Nun ist die Funktion in diesem Punkt nicht definiert, also kann sie da auch nicht stetig sein. Schon ist die Aufgabe gelöst.
Oder gibt es da noch einen Funktionswert für den Ursprung?
Wenn es Dir dann gelingt, die Differenzierbarkeit im Ursprung nachzuweisen, hast Du in der Tat gewonnen. Sonst musst Du eben die Definition der Stetigkeit verwenden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Fr 17.05.2013 | | Autor: | love |
ok vielen lieben Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Sa 18.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute ich habe mal eine Frage ich muss zeigen,dass f
> im ursprung stetig ist.. Gegeben ist:
> [mm]\bruch{x^6+y^6}{x^4+y^4}[/mm] ich setze die Polarkoordinaten
> ein. Es gilt dann [mm]x=r*cos(\gamma) y=r*cos(\gamma) x^4+y^4=r^4(cos^4(\gamma)+sin^4(\gamma))=r^4.[/mm]
Das letzte "=" ist falsch. Das wurde Dir schon gesagt.
> Meine erste Frage lautet ich habe gesehen,dass
> [mm]cos^2(\gamma)+sin^2(\gamma)=[/mm] 1 ist. warum ist das so?
Das wurde Dir auch schon gesagt.
> Oder
> unter welcher artikel, kann ich diese regel sehen?
Sei f(x,y):= [mm]\bruch{x^6+y^6}{x^4+y^4}[/mm] für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0).
Wie f in (0,0) def. ist, hast Du uns nicht verraten !
Überlege Dir, dass gilt:
1. 0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le x^2+y^2
[/mm]
2. [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0.
[/mm]
Das bedeutet: für f(0,0) gibt es nur eine Möglichkeit, damit f in (0,0) stetig ist:
f(0,0):=0.
FRED
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