Symmetrische Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mi 28.06.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Zu der symmetrischen Bilinearform
[mm] s:\IR^{4} \times \IR^{4} \to \IR
[/mm]
mit
s(a,b):= [mm] 2a_{1}b_{2} [/mm] + [mm] 2a_{2}b_{1} [/mm] + [mm] a_{1}b_{3} [/mm] + [mm] a_{3}b_{1} [/mm] - [mm] a_{2}b_{4} [/mm] - [mm] a_{4}b_{2} [/mm] - [mm] 2a_{3}b_{4} [/mm] - [mm] 2a_{4}b_{3}
[/mm]
für [mm] a=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}) \in \IR^{4} [/mm] und [mm] b=(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}) \in \IR^{4} [/mm] finde man eine Basis B des [mm] \IR^{4}, [/mm] so dass [mm] M_{B}(s) [/mm] eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonalelemente in {+1,-1} liegen. |
Hallo miteinander,
habe hier mal wieder ein Aufgabe, bei der mir der Kopf raucht. Kann mir vielleicht jemand eine guten Tipp geben, wie ich hier am besten anfangen kann. Habe momentan keine Ahnung und ich sitze schon eine Weile über der Aufgabe:(
Vielen Dank schon mal im voraus.
Beste Grüße
vicky
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Hallo!
Versuch doch mal, die Eigenvektoren der darstellenden Matrix zu berechnen!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 29.06.2006 | | Autor: | vicky |
Sorry das ich nochmal nachfrage aber wie kann ich denn die darstellende Matrix konstruieren? Ich gehe Mal davon aus das [mm] M_{B}(s) [/mm] eine 4x4 matrix ist, doch wie muß ich denn da nun vorgehen? Kann mir bitte nochmal jemand helfen?
Vielen Dank schon mal.
Beste Grüße
vicky
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Hallo,
bei Bilinearformen ist das komplizierter als bei einfache linearen Abbildungen, abre funktioniert nach einem ähnlich Prinzip. Ganz allgemein: Du musst jedes Element der Matrix (also [mm] a_{11}, a_{12} [/mm] etc.) ausrechnen. Ich schreibe es mal aus. Vorweg ein wenig Notation [mm] v_{1}, v_{2}, [/mm] v _{3}, [mm] v_{4} [/mm] sind die Standardbasisvektoren von R4.
Dann ist [mm] a_{11} [/mm] = s [mm] (v_{1}, v_{1}) [/mm] = ?
[mm] a_{12} [/mm] = s [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm] ...
Du musst also 16 Berechnungen machen und nur auf die Indizes achten. Ich hoffe das ist so verständlich.
Grüße Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 29.06.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo,
vielen Dank schon mal für die großartige Hilfe. Ich habe nun die Berechnungen durchgefüjrt und erhalte ein Symmetrische Matrix A= [mm] \pmat{ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & 0}. [/mm] Und nun habe ich das charakteristische Polynom berechnet bzw. die Eigenwert ermittelt. Diese lauten 1,-1,3,-3. Damit kann ich ja nun die Eigenvektoren bestimmen, doch wie geht es dann weiter?
Beste Grüße
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Do 29.06.2006 | | Autor: | Olex |
Hi! Ich mache auch gerade diese Aufgabe. Also der Tipp mit den Eigenvektoren ist sehr gut. Wenn du diese in enine Matrix S "reintust", dann sieht sie so aus:
(-1 1 1 1
1 -1 1 1
1 1 -1 1
1 1 1 -1)
Ehrlich gesagt, weiß ich nicht wieso (wahrscheinlich, weil sie symmetrisch ist), aber diese Matrix entspricht der, die du für die Basistransformation brauchst.
Dann rechnet man S*A*S aus (mit A ist deine Matrix gemeint), und kommt auf folgende Diagonalmatrix:
(-12 0 0 0
0 -4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 12)
Die gesuchten Basisvektoren sind die Eigenvektoren geteilt jeweils durch die Wurzel vom Betrag des entsprechenden Wertes von S*A*S :)
Also der erste gesuchte Basisvektor ist dann:
b1*1/(sqrt(12)). b1 ist der erste Spaltenvektor aus S (also Eigenvektor).
der zweite ist dann: b2*0.5 u.s.w
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 29.06.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen vielen Dank schon mal für den großzügigen Tipp. Das hat mir wirklich sehr geholfen. Doch eines ist mir noch nicht so ganz klar:
> Die gesuchten Basisvektoren sind die Eigenvektoren geteilt
> jeweils durch die Wurzel vom Betrag des entsprechenden
> Wertes von S*A*S :)
> Also der erste gesuchte Basisvektor ist dann:
> b1*1/(sqrt(12)). b1 ist der erste Spaltenvektor aus S
> (also Eigenvektor).
> der zweite ist dann: b2*0.5 u.s.w
>
Wie kommst du darauf? Und wie sieht letzten Endes [mm] M_{B}(s) [/mm] dann aus?
Vielen Dank für die Bemühungen.
Beste Grüße
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Do 29.06.2006 | | Autor: | Olex |
Hi!
Also im Beweis zum Satz 5.3.6 gibt es ein Vorgehen, wie man aus einer Diagonalmatrix, ein Diagonalmatrix mit nur Einträgen 1,-1 und 0 macht.
Mß(fi):
(-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1)
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