Tangentialebene, Normale < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Di 08.05.2012 | | Autor: | Basser92 |
| Aufgabe | (a)
Berechnen Sie die Richtungsableitung der Funktion [mm] f(x,y,z)=x^{2}+sin(y)-xz [/mm] in Richtung des Vektors [mm] \vec{v}=\vektor{1 \\ 2 \\ -2} [/mm] im Punkt [mm] \vec{r_{0}}=(1,\pi,-3).
[/mm]
(b)
Die Gleichung f(x,y,z)=5 beschreibt eine Fläche im Raum. Geben Sie für diese Fläche die Ebenengleichung der Tangentialebene und die Geradengleichung der Normale zur Tangentialebene im Punkt [mm] (1,\pi/2,-3) [/mm] an. |
Könnte mir jemand diese Aufgabe erklären? Ich hab kein Plan, was ich genau machen muss. Ich weiß nur, dass ich bei Teilaufgabe (a) den Gradient der Funktion bilden muss und mit dem normierten Vektor multiplizieren muss um auf eine Richtungsableitung zu kommen. Aber wie geht das dann genau in dem Punkt [mm] \vec{r_{0}}? [/mm] Und bei Teilaufgabe hab ich leider noch net mal einen Ansatz...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> (a)
> Berechnen Sie die Richtungsableitung der Funktion
> [mm]f(x,y,z)=x^{2}+sin(x)-xz[/mm] in Richtung des Vektors
> [mm]\vec{v}=\vektor{1 \\ 2 \\ -2}[/mm] im Punkt
> [mm]\vec{r_{0}}=(1,\pi,-3).[/mm]
>
> (b)
> Die Gleichung f(x,y,z)=5 beschreibt eine Fläche im Raum.
> Geben Sie für diese Fläche die Ebenengleichung der
> Tangentialebene und die Geradengleichung der Normale zur
> Tangentialebene im Punkt [mm](1,\pi/2,-3)[/mm] an.
> Könnte mir jemand diese Aufgabe erklären? Ich hab keinen
> Plan, was ich genau machen muss. Ich weiß nur, dass ich
> bei Teilaufgabe (a) den Gradient der Funktion bilden muss
> und mit dem normierten Vektor multiplizieren muss um auf
> eine Richtungsableitung zu kommen. Aber wie geht das dann
> genau in dem Punkt [mm]\vec{r_{0}}?[/mm]
Naja, berechne halt mal die benötigten Vektoren, bilde das
Produkt und werte das Ergebnis im gegebenen Punkt aus !
> Und bei Teilaufgabe (b) hab ich
> leider noch net mal einen Ansatz...
Der Gradient (im betrachteten Punkt ausgewertet) liefert einen
Normalenvektor für die Tangentialebene, welche natürlich den
gegebenen Punkt auch enthalten muss. Für die Flächennormale
ist der Gradient ein Richtungsvektor.
N.B. Ich vermute sehr, dass du den Funktionsterm
nicht ganz exakt wiedergegeben hast !
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Di 08.05.2012 | | Autor: | Basser92 |
> Naja, berechne halt mal die benötigten Vektoren, bilde
> das
> Produkt und werte das Ergebnis im gegebenen Punkt aus !
Das hab ich gemacht, aber ich glaub nicht, dass ich das richtig gemacht hab. Da müsste ja eigentlich ein Vektor rauskommen, wenn ich nicht komplett falsch liege, aber es kommt nur eine Zahl raus, da ich ja ein Skalarprodukt von 2 Vektoren bilde... Oder muss ich da das Kreuzprodukt bilden? dann würde ja wieder ein Vektor rauskommen
> N.B. Ich vermute sehr, dass du den Funktionsterm
> nicht ganz exakt wiedergegeben hast !
Da hast du recht, ich habe beim sinus y mit x vertauscht... Die Funktion lautet richtig: [mm] f(x,y,z)=x^{2}+sin(y)-xz [/mm]
|
|
|
| |
|
> > Naja, berechne halt mal die benötigten Vektoren, bilde
> > das
> > Produkt und werte das Ergebnis im gegebenen Punkt aus !
>
> Das hab ich gemacht, aber ich glaub nicht, dass ich das
> richtig gemacht hab. Da müsste ja eigentlich ein Vektor
> rauskommen, wenn ich nicht komplett falsch liege, aber es
> kommt nur eine Zahl raus, da ich ja ein Skalarprodukt von 2
> Vektoren bilde... Oder muss ich da das Kreuzprodukt bilden?
> dann würde ja wieder ein Vektor rauskommen
Eine Richtungsableitung ist im Ergebnis "nur" eine Zahl.
Man reduziert ja eigentlich den Definitionsbereich der zunächst
in [mm] \IR^3 [/mm] definierten reellen Funktion auf einen (entlang der
gegebenen Geraden liegenden) [mm] \IR^1 [/mm] und betrachtet dann die
Ableitung dieser Funktion [mm] \IR\to\IR [/mm] an der Stelle 0 (im Ausgangspunkt).
> > N.B. Ich vermute sehr, dass du den Funktionsterm
> > nicht ganz exakt wiedergegeben hast !
>
> Da hast du recht, ich habe beim sinus y mit x vertauscht...
> Die Funktion lautet richtig: [mm]f(x,y,z)=x^{2}+sin(y)-xz[/mm]
Exakt dies war auch meine Vermutung !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Di 08.05.2012 | | Autor: | Basser92 |
> Eine Richtungsableitung ist im Ergebnis "nur" eine Zahl.
> Man reduziert ja eigentlich den Definitionsbereich der
> zunächst
> in [mm]\IR^3[/mm] definierten reellen Funktion auf einen (entlang
> der
> gegebenen Geraden liegenden) [mm]\IR^1[/mm] und betrachtet dann die
> Ableitung dieser Funktion [mm]\IR\to\IR[/mm] an der Stelle 0 (im
> Ausgangspunkt).
>
Okay, das wusste ich noch net... Wieder was gelernt... :D
Vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
|
|
|
|
