Taylor, Konvergenzradius < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 So 19.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hallöchen,
unser Prof hatte als Beispiel folgende Funktion gegeben:
[mm] \bruch{1}{3+2x} [/mm] , [mm] x_0=0
[/mm]
Wir sollten bzw haben die Werte der Ableitungen u.a. berechnet ( [mm] f^{n}(x_0)), [/mm] die jeweilige zugehörige Taylor-Reihe angegeben und den Kovergenzradius der Reihe berechnet.
Jedoch konnte ich ihm nicht wirklich folgen:
Er hat aus der Funktion folgendes gemacht:
f^(n)(x)= [mm] 2^n (-1)^n [/mm] * n!* [mm] \bruch{1}{(3+2x)^(n+1)} [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] \ {-3|-2}
Jedoch versteh ich überhaupt nicht, wie er auf f^(n)(x) kommt.
Könnte mir das jemand erklären?
Vielen Dank schon einmal.
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> Hallöchen,
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> unser Prof hatte als Beispiel folgende Funktion gegeben:
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> [mm]\bruch{1}{3+2x}[/mm] , [mm]x_0=0[/mm]
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> Wir sollten bzw haben die Werte der Ableitungen u.a.
> berechnet ( [mm]f^{n}(x_0)),[/mm] die jeweilige zugehörige
> Taylor-Reihe angegeben und den Kovergenzradius der Reihe
> berechnet.
>
> Jedoch konnte ich ihm nicht wirklich folgen:
>
> Er hat aus der Funktion folgendes gemacht:
>
> f^(n)(x)= [mm]2^n (-1)^n[/mm] * n!* [mm]\bruch{1}{(3+2x)^(n+1)}[/mm] für
> alle x [mm]\in \IR[/mm] \ {-3|-2}
>
>
> Jedoch versteh ich überhaupt nicht, wie er auf f^(n)(x)
> kommt.
> Könnte mir das jemand erklären?
hallo,
am besten schreibst du 1/(2x+3) erstmal als [mm] 1*(2x+3)^{-1} [/mm] und leitest 4-5 mal ab, (und lass am besten alle faktoren die jedes mal dazukommen stehen, um ein schema zu erkennen)
du wirst sehen, dass die innere ableitung jedes mal dazukommt (2*2*2*... daher [mm] 2^n), [/mm] und dass die potenz als faktor dazukommt (1*2*3*.. daher die fakultät) und das vorzeichen bei geraden faktoren 1, bei ungeraden -1 ist [mm] ((-1)^n).
[/mm]
wenn du die zahlen schon fertig stehen hast wie bei deinem prof, wird es sehr schwierig ein schema zu erkennen
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> Vielen Dank schon einmal.
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 19.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ahso, das ist mir jetzt klar vielen dank.
Ich habe mal eine andere Aufgabe versucht, wäre das wie folgt richtig? :
Aufgabe: f(x)= [mm] \bruch{1}{4-3x}
[/mm]
dafür kann man auch schreiben: (4-3x)^(-1)
Dann habe ich, wie du es mir empfohlen hast, ein paar mal die Ableitungen gemacht und bin auf folgendes gekommen:
[mm] -3^n [/mm] * [mm] (-1)^n [/mm] * n! * [mm] \bruch{1}{(4-3x)^(n+1)}
[/mm]
wäre das so richtig?
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Hallo mml2011,
> Ahso, das ist mir jetzt klar vielen dank.
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> Ich habe mal eine andere Aufgabe versucht, wäre das wie
> folgt richtig? :
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> Aufgabe: f(x)= [mm]\bruch{1}{4-3x}[/mm]
>
> dafür kann man auch schreiben: (4-3x)^(-1)
>
> Dann habe ich, wie du es mir empfohlen hast, ein paar mal
> die Ableitungen gemacht und bin auf folgendes gekommen:
>
> [mm]-3^n[/mm] * [mm](-1)^n[/mm] * n! * [mm]\bruch{1}{(4-3x)^(n+1)}[/mm]
>
> wäre das so richtig?
Das sieht stimmig aus, wenn du [mm](-3)^n[/mm] meinst.
Bedenke noch [mm](-3)^n\cdot{}(-1)^n=3^n[/mm]
Für den Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm] kommst du damit auf [mm]f^{(n)}(0)=n!\cdot{}\frac{3^n}{4^{n+1}}=\frac{1}{4}\cdot{}n!\cdot{}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}[/mm]
Das [mm]n![/mm] kürzt sich dann nachher in der Taylorformel raus ...
Dein Ergebnis erscheint mir auch richtig, denn du kannst die Ausgangsfunktion im Hinblick auf die geometr. Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm] etwas umschreiben.
[mm]\frac{1}{4-3x}=\frac{1}{4}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{3}{4}x}[/mm]
Also hier mit [mm]q=\frac{3}{4}x[/mm] und mit [mm]|q|<1[/mm], also [mm]|x|<\frac{4}{3}[/mm] dann:
[mm]\frac{1}{4}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}x\right)^n=\frac{1}{4}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n\cdot{}x^n[/mm]
Das sollte die passende Taylorreihe (im Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm]) sein; auf diesem Wege ersparst du dir das lästige Ableiten ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 So 19.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Stimmen meine weiteren Ausführungen? :
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_0: [/mm] f^(n) (0) / n! [mm] \not= [/mm] 0 , [mm] \delta [/mm] = [mm] lim_(n->\infty) [/mm] | [mm] \bruch{f^(n+1)(0) / (n+1)!}{f^(n)(0) / n!}=
[/mm]
[mm] lim_n->\infty [/mm] | 3/4 | = 3/4 -> r= 4/3
Ich komme somit auf ein Konvergenzradius von 4/3 , stimmt das so?
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Hallo mml2011,
> Stimmen meine weiteren Ausführungen? :
>
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_0:[/mm] f^(n) (0) / n! [mm]\not=[/mm] 0 , [mm]\delta[/mm] =
> [mm]lim_(n->\infty)[/mm] | [mm]\bruch{f^(n+1)(0) / (n+1)!}{f^(n)(0) / n!}=[/mm]
>
> [mm]lim_n->\infty[/mm] | 3/4 | = 3/4 -> r= 4/3
>
> Ich komme somit auf ein Konvergenzradius von 4/3 , stimmt
> das so?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 19.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Schön!
Die selbe Aufgabe sollen wir auch noch für die Entwicklungsstelle [mm] x_0=5 [/mm] berechnen:
Ich bin wie folgt vorgegangen:
f^(n) (5) / n! = [mm] \bruch{ 3^n *5}{4^n+1}
[/mm]
=5/4 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (3/4)^n [/mm] * [mm] x^n
[/mm]
wäre das so richtig erst einmal ?
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Hallo mml2011,
> Schön!
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> Die selbe Aufgabe sollen wir auch noch für die
> Entwicklungsstelle [mm]x_0=5[/mm] berechnen:
>
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
>
> f^(n) (5) / n! = [mm]\bruch{ 3^n *5}{4^n+1}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{f^{\left(n\right)}\left(5\right)}{n!}=\bruch{3^{n}}{\left(4\red{-3*5}\right)^{n+1}}[/mm]
>
> =5/4 [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (3/4)^n[/mm] * [mm]x^n[/mm]
>
> wäre das so richtig erst einmal ?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 19.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
so weiter :
[mm] \bruch{3^n}{(4-15)^(n+1)}
[/mm]
und wie kann ich das weiter auseinandernehmen ? wäre folgendes möglich:
(1/ (4-15)) * (3 / [mm] (4-15))^n
[/mm]
???
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Hallo mml2011,
> so weiter :
>
> [mm]\bruch{3^n}{(4-15)^(n+1)}[/mm]
>
> und wie kann ich das weiter auseinandernehmen ? wäre
> folgendes möglich:
>
> (1/ (4-15)) * (3 / [mm](4-15))^n[/mm]
>
> ???
Ja, das ist möglich.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 So 19.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Also:
1/ (-11) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-3/11)^n [/mm] * [mm] x^n
[/mm]
somit wäre r= 11/3
stimmts?
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Hallo mml2011,
> Also:
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> 1/ (-11) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-3/11)^n[/mm] * [mm]x^n[/mm]
Hier muss es dich heißen:
1/ (-11) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-3/11)^n[/mm] * [mm]\left(x\blue{-5}\right)^n[/mm]
>
> somit wäre r= 11/3
>
> stimmts?
Ja.
Gruss
MathePower
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