Taylorentwicklung -2 Variablen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Unter Verwendung bekannter TAYLOR-Polynome bestimme man das TAYLOR-sche Polynom [mm] P_3 [/mm] der Funktion
[mm] f(x,y)=e^x \cos y [/mm]
im Entwicklungspunkt [mm] P(0,0) [/mm] |
Hallo!
Bei dieser eigentlich einfachen Aufgabe habe ich folgendes Problem:
Also ich weiß ja, dass die Taylorreihen für die Exponentialfunktion (in einer Variablen also für [mm] e^x [/mm]) mit
[mm] P_n=\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^k}{k!} [/mm]
bzw. für [mm] \cos x [/mm] mit
[mm] P_n=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} [/mm]
vereinfacht anschreiben kann.
Nun verstehe ich jedoch nicht, wie ich das Ganze auf mein Beispiel umlegen kann. Denn nach 2 Variablen wird ja anders entwickelt als nach einer. Bzw. hier benötige ich ja immer die Partiellen Ableitungen... **Verwirrung**
Natürlich könnte ich bei diesem Beispiel einfach alle Partiellen Ableitungen (bis zum Grad 3) bilden und in die Allgemeine Formel zur TAYLOR-Entwicklung einsetzen und würde ebenfalls schnell zum richtigen Ergebnis gelangen, nur das ist eben nicht gefragt.
Ich hoffe jemand kann mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich vermute, das geht mit der Produktformel von Cauchy
Gruß korbinian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Mi 14.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Du kannst auch übers Komplexe gehen:
Mit z=x+iy ist
$e^xcos(y)= [mm] Re(e^z)= Re(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!} [/mm] )= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{Re(z^k)}{k!} [/mm] $
FRED
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