Taylorpolynom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für die höheren Ableitungen (n≥4) der Funktion [mm] y=f(x)=x^3*ln(x) [/mm] gilt:
[mm] y^n=(-1)^{n}*6*(n-4)!*x^{3-n}. [/mm] Bestimmen sie das Taylorpolynom 5.Grades um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=1.
[/mm]
Lösungsansatz:
[mm] f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{f^n*x_{0}}{n!}*(x-x_{0})
[/mm]
[mm] f'''''(x)=\sum_{n=0}^{5}\bruch{\bruch{-6}{x^2}*1}{5!}*(x-1) [/mm] |
Schönen guten Abend alle zusammen,
also ich habe die Ausgangsfunktion 5 mal abgelitten ist das 5. Taylorpolynom so richtig?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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> Für die höheren Ableitungen (n≥4) der Funktion
> [mm]y=f(x)=x^3*ln(x)[/mm] gilt:
> [mm]y^n=(-1)^{n}*6*(n-4)!*x^{3-n}.[/mm] Bestimmen sie das
> Taylorpolynom 5.Grades um den Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=1.[/mm]
>
> Lösungsansatz:
>
> [mm]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{f^n*x_{0}}{n!}*(x-x_{0})[/mm]
>
> [mm]f'''''(x)=\sum_{n=0}^{5}\bruch{\bruch{-6}{x^2}*1}{5!}*(x-1)[/mm]
> Schönen guten Abend alle zusammen,
>
Hallo J.Dean.
Also die Überlegung , falls du eine allg. "Formel" für die Taylorreihe suchst einige Ableitungen zu betrachten ist natürlich eine gute Idee um sich Intuition über das verhalten (beispielsweise alternierendes Vorzeichen etc. etc zu verschaffen) - kann aber auch völlig sinnlos sein oftmals ist kein "Verhalten" zu bestimmen.. nimm an die ersten 3 Ableitungen sind null daraus folgt noch lange nicht dass alle Ableitungen höherer Ordnung = 0 sind.
Soviel will ich generell für Taylorreihen , welche du sicher noch betrachten wirst, anmerken.
Gut du willst also die Funktion durch das Taylorpolynom 5. Grades in einem Entwicklungspunkt bilden.
1) Deine Summe ist von n nicht abhängig also in dieser Schreibweise sehe ich nicht was deine Summe tun soll.
2) Zumeinst entsteht bei Taylorpolynomen ein Fehler in der Approximation das sogenannte Restglied - dieses hast du ebenfalls nicht angegeben.
> also ich habe die Ausgangsfunktion 5 mal abgelitten ist das
> 5. Taylorpolynom so richtig?
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
> J.DEan
Gruß
Thomas
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Guten Abend,
demzufolge nehme ich an das mein Ergebniss nicht stimmt...
Kannst du mir nicht ein Hinweis geben wie zum Beispiel das Taylorpolynom 2. Grades aussehen würde ?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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> hmmmm.....
> Guten Abend,
>
> demzufolge nehme ich an das mein Ergebniss nicht stimmt...
> Kannst du mir nicht ein Hinweis geben wie zum Beispiel das
> Taylorpolynom 2. Grades aussehen würde ?
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Also Was ist das Taylorpolynom 5. Grades? Eine angenäherte Darstellung deiner Funktion $ [mm] y=f(x)=x^3\cdot{}ln(x) [/mm] $ .
Was musst du dafür wissen? Eine Anschlussstelle - die kennst du ... sei es [mm] x_{0}= [/mm] 1.
Gut. Die Summe benötigt im wesentlichen 2 Entscheidende Dinge: Eine Anschlussstelle und die Ableitung nter Ordnung - also wenn du das Taylorpolynom 5. Grades bilden willst dann leute die Fkt $ [mm] y=f(x)=x^3\cdot{}ln(x) [/mm] $ 5mal ab und setze diese Ableitungen dann in die Summe ein - bedenke dass natürlich an der Entwicklungsstelle ausgewertet werden muss.
Zusätzlich: Es gibt einen "Fehler" ist dieser 0 dann hast du die Funktion perfekt genähert. Die Darstellungsweisen sind verschieden - sehr häufig wird die Lagrange Form herangezogen.
Also bilde mal die Ableitungen und dann setze ein.
Gruß Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> .. nimm an die
> ersten 3 Ableitungen sind null daraus folgt noch lange
> nicht dass alle Ableitungen höherer Ordnung = 0 sind.
ich hoffe mal, dass Du hier sowas meinst: "Nimm' an, dass die Ableitung 'an
einer gewissen Stelle' [mm] $0\,$ [/mm] ist - daraus folgt noch lange nicht, dass die
höheren Ableitungen 'an dieser Stelle' auch [mm] $0\,$ [/mm] sind".
Denn aus [mm] $f^{n}(x) \equiv [/mm] 0$ (d.h. [mm] $f^{(n)}=0\,$; [/mm] d.h. [mm] $f^{(n)}(x)=0$ $\;\;\forall [/mm] x$) folgt natürlich [mm] $f^{(n+k)}(x)\equiv [/mm] 0$
für alle $k [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 So 07.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für die höheren Ableitungen (n≥4) der Funktion
> [mm]y=f(x)=x^3*ln(x)[/mm] gilt:
> [mm]y^n=(-1)^{n}*6*(n-4)!*x^{3-n}.[/mm] Bestimmen sie das
> Taylorpolynom 5.Grades um den Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=1.[/mm]
>
> Lösungsansatz:
>
> [mm]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{f^n*x_{0}}{n!}*(x-x_{0})[/mm]
>
> [mm]f'''''(x)=\sum_{n=0}^{5}\bruch{\bruch{-6}{x^2}*1}{5!}*(x-1)[/mm]
> Schönen guten Abend alle zusammen,
>
> also ich habe die Ausgangsfunktion 5 mal abgelitten
"abgelitten "..., sehr witzig ....
> ist das
> 5. Taylorpolynom so richtig?
Nein. Das ist grottenfalsch !
Es sieht so aus:
[mm] a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+a_3(x-1)^3+a_4(x-1)^4+a_5(x-1)^5
[/mm]
mit
[mm] a_k=\bruch{y^{(k)}(1)}{k!} [/mm] (k=0,...,5)
FRED
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
> J.DEan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 So 07.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > Für die höheren Ableitungen (n≥4) der Funktion
> > [mm]y=f(x)=x^3*ln(x)[/mm] gilt:
> > [mm]y^n=(-1)^{n}*6*(n-4)!*x^{3-n}.[/mm] Bestimmen sie das
> > Taylorpolynom 5.Grades um den Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=1.[/mm]
> >
> > Lösungsansatz:
> >
> > [mm]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{f^n*x_{0}}{n!}*(x-x_{0})[/mm]
> >
> >
> [mm]f'''''(x)=\sum_{n=0}^{5}\bruch{\bruch{-6}{x^2}*1}{5!}*(x-1)[/mm]
> > Schönen guten Abend alle zusammen,
> >
> > also ich habe die Ausgangsfunktion 5 mal abgelitten
>
>
> "abgelitten "..., sehr witzig ....
>
> > ist das
> > 5. Taylorpolynom so richtig?
>
> Nein. Das ist grottenfalsch !
>
>
> Es sieht so aus:
>
> [mm]a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+a_3(x-1)^3+a_4(x-1)^4+a_5(x-1)^5[/mm]
>
> mit
>
> [mm]a_k=\bruch{y^{(k)}(1)}{k!}[/mm] (k=0,...,5)
>
> FRED
> >
> > Mit freundlichen Grüßen
> >
> >
> > J.DEan
>
Ja genau. Also der Name Polynom gibt dir ja schon an auf welche Form (gerade bei Grad = 5 , da kann man wirklich ausschreiben) du das ganze bringen sollst. Natürlich kann es theoretisch in Summenschreibweise bestehen bleiben aber du solltest es eben als Polynom ausschreiben.
Fred hat dir schon angegeben wie die Koeff. auszusehen haben nämlich : [mm]a_k=\bruch{y^{(k)}(1)}{k!}[/mm] (k=0,...,5) , bezeichnet als Ableitung 1 - 2 -3 Ordnung ... 5 Ordn.
Einfach diese Ableitungen bestimmen und dann, wie es Fred schon allg. ausgeführt hat, [mm]a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+a_3(x-1)^3+a_4(x-1)^4+a_5(x-1)^5[/mm] dein Polynom angeben.
Gruß
Thomas
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| Aufgabe | Sorry grammatisch richtig heißt es abgeleitet und nicht abgelitten.
Nun zur eigentlichen Aufgabe:
Allgemein gilt [mm] a_k=\bruch{y^{(k)}(1)}{k!} [/mm] das heißt das Taylorpolynom 5. Grades schaut so aus:
[mm] 0+\bruch{3x^2*ln(x)}{1!}*(x-1)+\bruch{6x*ln(x)+5x}{2!}*(x-1)^2+\bruch{6*ln(x)+11}{3!}*(x-1)^3+\bruch{6}{x*4!}*(x-1)^4-\bruch{6}{x^2*5!}*(x-1)^5 [/mm] |
Schönen guten Tag alle zusammen,
stimmt das von mir aufgestellte Taylorpolynom? Für die mathematische Korrektheit muss die Null am Anfang mit aufgeführt werden richtig?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> Sorry grammatisch richtig heißt es abgeleitet und nicht
> abgelitten.
>
> Nun zur eigentlichen Aufgabe:
>
>
> Allgemein gilt [mm]a_k=\bruch{y^{(k)}(1)}{k!}[/mm] das heißt das
> Taylorpolynom 5. Grades schaut so aus:
>
> [mm]0+\bruch{3x^2*ln(x)}{1!}*(x-1)+\bruch{6x*ln(x)+5x}{2!}*(x-1)^2+\bruch{6*ln(x)+11}{3!}*(x-1)^3+\bruch{6}{x*4!}*(x-1)^4-\bruch{6}{x^2*5!}*(x-1)^5[/mm]
> Schönen guten Tag alle zusammen,
>
> stimmt das von mir aufgestellte Taylorpolynom? Für die
> mathematische Korrektheit muss die Null am Anfang mit
> aufgeführt werden richtig?
>
Das Taylorpolynom 5. Grades lautet doch:
[mm]0+\bruch{3*\blue{1}^2*ln(\blue{1})\red{+1^{2}}}{1!}*(x-1)+\bruch{6*\blue{1}*ln(\blue{1})+5*\blue{1}}{2!}*(x-1)^2+\bruch{6*ln(\blue{1})+11}{3!}*(x-1)^3+\bruch{6}{\blue{1}*4!}*(x-1)^4-\bruch{6}{\blue{1}^2*5!}*(x-1)^5[/mm]
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 So 07.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
 ok alles klar, vielen Dank für eure Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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Hallo,
Gehört aber zu einem korrekten Taylorpolynom nicht die Angabe des Restgliedes?
Das Restglied müsste lauten:
[mm] R_{n}(x)=|\bruch{f^{(6)}*(\xi)}{6!}*(x-1)^{6}|=|\bruch{2}{(\xi)^{3}*5!}*(x-1)^{6}|
[/mm]
Das kann/muss man doch noch an das Taylorpolynom anfügen oder nicht?
Gruß, Andreas
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> Hallo,
>
> Gehört aber zu einem korrekten Taylorpolynom nicht die
> Angabe des Restgliedes?
>
> Das Restglied müsste lauten:
>
> [mm]R_{n}(x)=|\bruch{f^{(6)}*(\xi)}{6!}*(x-1)^{6}|=|\bruch{2}{(\xi)^{3}*5!}*(x-1)^{6}|[/mm]
>
> Das kann/muss man doch noch an das Taylorpolynom anfügen
> oder nicht?
>
>
> Gruß, Andreas
Hallo Andreas,
falls nur das Taylorpolynom gefragt ist (und das scheint
laut Aufgabentext der Fall zu sein), genügt dieses
allein.
Die Angabe des Restgliedes (das ist ja nicht
Bestandteil des Taylorpolynoms !) wäre also eine
nicht verlangte Zugabe.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ok, danke für den Hinweis. Das habe ich aus dem Lehrbuch falsch aufgeschnappt.
Gruß, Andreas
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den absoluten und relativen Fehlerbereich des
Näherungspolynoms [mm] T_{5} [/mm] der Funktion [mm] f(x)=x^3*ln(x) [/mm] für x=2 um den
Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=1
[/mm]
Lösung:
[mm] T_{6}(x)=\bruch{12}{x^3*6!}*(x-1)^6 [/mm] daraus folgt:
[mm] T_{6}(x)=\bruch{12}{6!}*(x-1)^6
[/mm]
[mm] R_{5}(x)=|\bruch{f^{(6)}\cdot{}(\xi)}{6!}\cdot{}(x-1)^{6}|=|\bruch{12}{2^3\cdot{}6!}\cdot{}(1)^{6}|
[/mm]
[mm] R_{5}(x)=\bruch{1}{480} [/mm] |
Guten Abend zusammen,
stimmt meine Berechnung für das Restglied?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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Hallo JD ,
> Guten Abend zusammen,
> stimmt meine Berechnung für das Restglied?
Nein, nicht so ganz ...
> Bestimmen Sie den absoluten und relativen Fehler-
> bereich des Näherungspolynoms [mm]T_{5}[/mm] der Funktion
> [mm]f(x)=x^3*ln(x)[/mm] für x=2 um den
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=1[/mm]
>
> Lösung:
>
> [mm]T_{6}(x)=\bruch{12}{x^3*6!}*(x-1)^6[/mm] daraus folgt:
>
> [mm]T_{6}(x)=\bruch{12}{6!}*(x-1)^6[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
[mm] T_6 [/mm] wäre eigentlich das gesamte Taylorpolynom der
Ordnung 6 , du meinst aber hier mit [mm] T_6(x) [/mm] nur
dessen letzten Summanden.
> [mm]R_{5}(x)\ =\ \left|\bruch{f^{(6)}\cdot{}(\xi)}{6!}\cdot{}(x-1)^{6}\right|\ =\ \left|\bruch{12}{2^3\cdot{}6!}\cdot{}(1)^{6}\right|[/mm]
Stopp !
1.) schlimmer Fehler: du schreibst [mm] f^{(6)}\cdot{}(\xi) [/mm] anstatt [mm] f^{(6)}(\xi)
[/mm]
das ist schon fast eine Todsünde, denn es geht ja
hier nicht um eine Multiplikation [mm] "f^{(6)} [/mm] mal [mm] \xi" [/mm] ,
sondern um die Anwendung der Funktion [mm] f^{(6)}
[/mm]
auf den Wert [mm] \xi [/mm] , also [mm] "f^{(6)} [/mm] von [mm] \xi" [/mm] !
2.) die Absolutstriche haben da noch nichts zu suchen,
weil es sich bei [mm] R_5(x) [/mm] um das Restglied selbst handelt,
nicht um dessen Betrag.
> [mm]R_{5}(x)=\bruch{1}{480}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
richtig wäre:
[mm]R_{5}(x)=\bruch{f^{(6)}(\xi)}{6\,!}\cdot{}(x-1)^{6}\ =\ \bruch{12}{{\xi^3}\cdot{}6\,!}\cdot{}(x-1)^{6}\ =\ \bruch{1}{60*\xi^3}\cdot{}(x-1)^{6}[/mm]
nun für x den Wert 2 einsetzen:
[mm]R_{5}(2)\ =\ \bruch{1}{60*\xi^3}\cdot{}(2-1)^{6}\ =\ \bruch{1}{60*\xi^3}[/mm]
Erst jetzt kommen wir zur Abschätzung des Betrages:
[mm] $\left|R_{5}(2)\right|\ [/mm] =\ [mm] \left|\bruch{1}{60*\xi^3}\right|$ [/mm] , wobei $\ [mm] 1\le\xi\le2$ [/mm]
weil [mm] \xi [/mm] ohnehin positiv ist (wegen [mm] \xi\ge1) [/mm] , können wir auf
die Absolutstriche rechts gleich wieder verzichten:
[mm] $\left|R_{5}(2)\right|\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{60*\xi^3}$ [/mm] , wobei $\ [mm] 1\le\xi\le2$ [/mm]
Um diesen Betrag des Restgliedes nach oben abzu-
schätzen, müssen wir vom "schlimmsten Fall" ausgehen,
wo der Ausdruck seinen größtmöglichen Wert annimmt.
Das ist hier nicht der Fall bei [mm] \xi=2 [/mm] , sondern bei [mm] \xi=1 [/mm] ,
weil ja das [mm] \xi^3 [/mm] im Nenner steht !
Also kommen wir auf die Abschätzung:
[mm] $\left|R_{5}(2)\right|\ \le\ \bruch{1}{60*1^3}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{60}$
[/mm]
Um höchstens so viel weicht also der Wert [mm] T_5(2) [/mm] vom
wahren Wert von f(2) ab. Ich habe dies nachgerechnet:
Es ist (auf 4 Stellen nach dem Dezimalpunkt gerundet):
$\ f(2)\ [mm] \approx [/mm] 5.5452$
$\ [mm] T_5(2)\ \approx [/mm] 5.5333$
Abweichung: $\ [mm] |\Delta|\ \approx [/mm] 0.0118$
Man sieht, dass dies tatsächlich kleiner als [mm] $\frac{1}{60}\approx [/mm] 0.0167$
ist. Deine ursprüngliche Fehlerschranke [mm] $\frac{1}{60}\approx [/mm] 0.0021$ ,
die du durch Einsetzen von [mm] \xi=2 [/mm] anstatt [mm] \xi=1 [/mm] erhalten hast,
wäre aber doch ganz deutlich, nämlich um einen Faktor 8
zu klein !
Nun fehlt nur noch die Abschätzung des relativen Fehlers.
Damit ist (vermutlich)
[mm] $\left|\frac{T_5(2)-f(2)}{f(2)}\right|\ [/mm] =\ [mm] \left|\frac{\Delta}{f(2)}\right|$
[/mm]
gemeint. Wir wissen aus obiger Rechnung, dass [mm] $\left|\Delta\right|\ \le\ \frac{1}{60}$
[/mm]
Da wir eigentlich nicht davon ausgehen dürfen, den
wahren Wert von f(2) schon zu kennen (dieser soll
ja erst näherungsweise bestimmt werden), dürfen
wir nur annehmen, dass [mm] $\left|f(2)-T_5(2)|\right|\ \le\ \Delta\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{60}$
[/mm]
Den Wert von $\ [mm] T_5(2)\ [/mm] =\ [mm] \frac{83}{15}$ [/mm] dürfen wir aber als bekannt
voraussetzen, denn schließlich haben wir uns jetzt ja
schon die ganze Mühe mit der Berechnung von [mm] T_5
[/mm]
gemacht ...
So, jetzt bleibt nur noch eine ganz kleine Rechnung
zu erledigen ...
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Do 11.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Hey, vielen dank für deine sehr hilfreiche Antwort.
Mit freundlichen grüßen
J.dean
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> Hey, vielen dank für deine sehr hilfreiche Antwort.
Ja, ich hatte gesehen, dass da noch diese unerledigte
Frage war und habe mir die Mühe genommen, eine
Antwort zu schreiben, die möglicherweise auch anderen
nützt, die hier reingucken ...
LG , Al-Chw.
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> > also ich habe die Ausgangsfunktion 5 mal abgelitten
>
> "abgelitten "..., sehr witzig ....
Ja, jetzt kommen wir der wahren Etymologie der
Ausdrücke aber endlich auf die Spur:
Statt "Ableitung" sollte es korrekt "Ableidung" heißen.
Das Integrieren ist folgerichtig der Prozess des
Aufleidens; darin steckt der sehr wahre Kern, dass
dies oft mit großen Mühen verbunden ist: die Summe
des Leidens strebt in den schlimmeren Fällen gegen
unendlich.
Mit schmerzlichen Grüßen
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > also ich habe die Ausgangsfunktion 5 mal abgelitten
> >
> > "abgelitten "..., sehr witzig ....
>
>
> Ja, jetzt kommen wir der wahren Etymologie der
> Ausdrücke aber endlich auf die Spur:
>
> Statt "Ableitung" sollte es korrekt "Ableidung" heißen.
> Das Integrieren ist folgerichtig der Prozess des
> Aufleidens;
und wie nennen wir dann ein Integral? Aufleid? Ein Riemann-Integral ist
dann ein Riemann-Aufleid? Manch' einer leid-et doch heute noch unter
Riemann... aber jetzt haben wir dann Hoffnung: Denn vielleicht gibt's da ja
bald was von R_tiopharm? (Der _ musste wegen des Vermeidens von
Schleichwerbung geschrieben werden. ^^)
Gruß,
Marcel
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