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| Aufgabe | | Mit einer Genauigkeit von [mm] \frac{1}{10} [/mm] ist mit Hilfe eines geeigneten Taylorpolynoms cos 1 zu berechnen. (Das Ergebnis ist zu begründen) |
Hallo Leute,
wir haben bereits die Taylor-Reihe und die Taylor-Formel eingeführt.
Meine Idee zur Lösung der Aufgabe:
Bestimmung der erforderlichen Taylor-Glieder über das Lagrangesche Restglied.
[mm] $R_n [/mm] f(x; [mm] x_0) [/mm] = [mm] \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
[/mm]
[mm] $|R_n(x,x_0)|\le \frac{1}{(n+1)!}|(x-x_0)^{n+1}|<\frac{1}{(n+1)!}<\frac{1}{10}
[/mm]
Ich habe hierbei jetzt [mm] f^{(n+1)}(\xi) [/mm] durch eins ersetzt, weil die Ableitung von Kosinus betragsmäßig immer kleiner als 1 ist, geht das?
In einer ähnlichen Aufgabe gab es eine Taylor-Entwicklung an der Entwicklungsstelle 0 mit cos x und dort haben wir dann einfach für [mm] (x-x_0)^{n+1} [/mm] gesagt |x|<1 und dann konnten wir [mm] <\frac{1}{(n+1)!} [/mm] schreiben, kann man das hier auch so machen?
Ich würde dann nämlich einfach sagen, dass das ab n=3 erfüllt ist und die Taylorglieder aufschreiben, aber weiß die Entwicklungsstelle ja leider nicht. :-(
Kann mir jemand helfen ??
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 12.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Mit einer Genauigkeit von [mm]\frac{1}{10}[/mm] ist mit Hilfe eines
> geeigneten Taylorpolynoms cos 1 zu berechnen. (Das Ergebnis
> ist zu begründen)
> Hallo Leute,
> wir haben bereits die Taylor-Reihe und die Taylor-Formel
> eingeführt.
>
>
> Meine Idee zur Lösung der Aufgabe:
>
> Bestimmung der erforderlichen Taylor-Glieder über das
> Lagrangesche Restglied.
>
> [mm]R_n f(x; x_0) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}[/mm]
>
> [mm]$|R_n(x,x_0)|\le \frac{1}{(n+1)!}|(x-x_0)^{n+1}|<\frac{1}{(n+1)!}<\frac{1}{10}[/mm]
>
> Ich habe hierbei jetzt [mm]f^{(n+1)}(\xi)[/mm] durch eins ersetzt,
> weil die Ableitung von Kosinus betragsmäßig immer kleiner
> als 1 ist, geht das?
Die n-te Ableitung des Kosinus ist betragsmäßig kleiner als 1, dass kannst Du so abschätzten.
Die gesamte Abschätzung ist aber nur richtig, wenn Du für den Entwicklungspunkt [mm] x_0=1 [/mm] annimmst und den Wert des Kosinus an der Stelle x=1 berechnen möchtest, was ja Sinn der Aufgabe ist.
> In einer ähnlichen Aufgabe gab es eine Taylor-Entwicklung
> an der Entwicklungsstelle 0 mit cos x und dort haben wir
> dann einfach für [mm](x-x_0)^{n+1}[/mm] gesagt |x|<1 und dann
> konnten wir [mm]<\frac{1}{(n+1)!}[/mm] schreiben, kann man das hier
> auch so machen?
>
>
> Ich würde dann nämlich einfach sagen, dass das ab n=3
> erfüllt ist und die Taylorglieder aufschreiben, aber weiß
> die Entwicklungsstelle ja leider nicht. :-(
Wie ich schon oben gesagt habe, hast Du ja implizit schon Annahmen über den Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] gemacht, nämlich [mm] x_0=0
[/mm]
Du kannst das ja auch alles überprüfen, indem Du den Kosinus in eine Reihe entwickelst mit [mm] x_0=0 [/mm] und die Werte von cos(1) mit dem Reihenwert an der Stelle x=1 vergleichst.
> Kann mir jemand helfen ??
>
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> Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort!
> Die gesamte Abschätzung ist aber nur richtig, wenn Du für
> den Entwicklungspunkt [mm]x_0=1[/mm] annimmst und den Wert des
> Kosinus an der Stelle x=1 berechnen möchtest, was ja Sinn
> der Aufgabe ist.
Also ist der Entwicklungspunkte sozusagen der angegebene X-Wert, in diesem Fall cos(1) => [mm] x_0=1 [/mm] ?
> > In einer ähnlichen Aufgabe gab es eine Taylor-Entwicklung
> > an der Entwicklungsstelle 0 mit cos x und dort haben wir
> > dann einfach für [mm](x-x_0)^{n+1}[/mm] gesagt |x|<1 und dann
> > konnten wir [mm]<\frac{1}{(n+1)!}[/mm] schreiben, kann man das hier
> > auch so machen?
> >
> >
> > Ich würde dann nämlich einfach sagen, dass das ab n=3
> > erfüllt ist und die Taylorglieder aufschreiben, aber weiß
> > die Entwicklungsstelle ja leider nicht. :-(
>
> Wie ich schon oben gesagt habe, hast Du ja implizit schon
> Annahmen über den Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] gemacht, nämlich
> [mm]x_0=0[/mm]
>
> Du kannst das ja auch alles überprüfen, indem Du den
> Kosinus in eine Reihe entwickelst mit [mm]x_0=0[/mm] und die Werte
> von cos(1) mit dem Reihenwert an der Stelle x=1
> vergleichst.
Ok, ich denke mal das wird dann wohl gar nicht klappen, wenn [mm] x_0=1 [/mm] sich schon aus der Aufgabenstellung ergibt.
[mm] $|R_n(x,1)|\le \frac{1}{(n+1)!}|(x-1)^{n+1}|
[/mm]
Wie kann ich das jetzt also weiter abschätzen? :-(
Also jetzt für [mm] |(x-1)^{n+1}| [/mm] ?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Do 12.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> vielen Dank für deine Antwort!
>
>
> > Die gesamte Abschätzung ist aber nur richtig, wenn Du für
> > den Entwicklungspunkt [mm]x_0=1[/mm] annimmst und den Wert des
> > Kosinus an der Stelle x=1 berechnen möchtest, was ja Sinn
> > der Aufgabe ist.
>
> Also ist der Entwicklungspunkte sozusagen der angegebene
> X-Wert, in diesem Fall cos(1) => [mm]x_0=1[/mm] ?
>
>
> > > In einer ähnlichen Aufgabe gab es eine Taylor-Entwicklung
> > > an der Entwicklungsstelle 0 mit cos x und dort haben wir
> > > dann einfach für [mm](x-x_0)^{n+1}[/mm] gesagt |x|<1 und dann
> > > konnten wir [mm]<\frac{1}{(n+1)!}[/mm] schreiben, kann man das hier
> > > auch so machen?
> > >
> > >
> > > Ich würde dann nämlich einfach sagen, dass das ab n=3
> > > erfüllt ist und die Taylorglieder aufschreiben, aber weiß
> > > die Entwicklungsstelle ja leider nicht. :-(
> >
> > Wie ich schon oben gesagt habe, hast Du ja implizit schon
> > Annahmen über den Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] gemacht, nämlich
> > [mm]x_0=0[/mm]
> >
> > Du kannst das ja auch alles überprüfen, indem Du den
> > Kosinus in eine Reihe entwickelst mit [mm]x_0=0[/mm] und die Werte
> > von cos(1) mit dem Reihenwert an der Stelle x=1
> > vergleichst.
>
> Ok, ich denke mal das wird dann wohl gar nicht klappen,
> wenn [mm]x_0=1[/mm] sich schon aus der Aufgabenstellung ergibt.
>
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> [mm]|R_n(x,1)|\le \frac{1}{(n+1)!}|(x-1)^{n+1}|[/mm]
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> Wie kann ich das jetzt also weiter abschätzen? :-(
>
> Also jetzt für [mm]|(x-1)^{n+1}|[/mm] ?
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
Hallo,
du kannst die Bestimmung von cos 1 doch nur dann mit vertretbarem Aufwand machen, wenn du einfach zu berechnende Polynome verwendest.
Da spricht alles für den Entwicklungspunkt 0.
Damit ist [mm] cos(1)=$1-1^2/2+1^4/24-1^6/720...$, [/mm] und wegen der alternierenden Summe mit betragsmäßig abnehmenden Summanden kann der Fehler nicht größer werden als der letzte Summand vor dem Abbruch.
Damit ist 1/24 bereits dein letzter erforderlicher Summand, wenn der Fehler sogar 1/10 betragen darf.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Do 12.12.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Oh jetzt habe ich das auch verstanden, vielen Dank!
Jetzt habe ich es hinbekommen. 
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