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Teilfolgen und Konvergenz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:11 Mo 26.11.2007
Autor: lc76

Von einer Folge [mm] b_{n} [/mm] sei bekannt, daß die Teilfolgen [mm] b_{2n}, b_{2n-1} [/mm] und [mm] b_{7n} [/mm]
alle konvergieren, aber mit unbekannten Grenzwerten. Konvergiert dann auch
[mm] b_{n} [/mm] ? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Brauche Hilfe bei der Aufgabe. Wie geht man hier vor? Es ist ja bekannt, dass wenn eine [mm] a_{n} [/mm] gegen a konvergiert => jede Teilfolge [mm] a_{n}_{k} [/mm] auch gegen a konvergiert.

Und weiter? Wie löst man diese Aufgabe??


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Teilfolgen und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Mo 26.11.2007
Autor: angela.h.b.


> Von einer Folge [mm]b_{n}[/mm] sei bekannt, daß die Teilfolgen
> [mm]b_{2n}, b_{2n-1}[/mm] und [mm]b_{7n}[/mm]
>  alle konvergieren, aber mit unbekannten Grenzwerten.
> Konvergiert dann auch
>  [mm]b_{n}[/mm] ? (Beweis oder Gegenbeispiel!)
>  
> Brauche Hilfe bei der Aufgabe. Wie geht man hier vor? Es
> ist ja bekannt, dass wenn eine [mm]a_{n}[/mm] gegen a konvergiert =>
> jede Teilfolge [mm]a_{n}_{k}[/mm] auch gegen a konvergiert.
>  
> Und weiter? Wie löst man diese Aufgabe??

Hallo,

wenn [mm] b_{7n} [/mm] konvergiert gegen a, müssen sämtliche Teilfolgen auch gegen a konvergieren.

Also konvergiert [mm] (b_7, b_{21},b_{35}, [/mm] ...) gegen a und es konvergiert

[mm] (b_{14}, b_{28},b_{42}, [/mm] ...)   gegen a.

Wovon sind das jeweils Teilfolgen, und was hat das für Folgen?

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
Teilfolgen und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Mo 26.11.2007
Autor: kornfeld

Ich wuerde es so schreiben:
Seien [mm] $A=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{2n}$, $B=\lim_{n\rightarrow \infty} b_{2k-1}$ [/mm] und [mm] $C=\lim_{n\rightarrow\infty} b_{7n}$. [/mm]
Behauptung: $A=B=C$
Beweis: [mm] $B_{7n}$ [/mm] konvergiert, also auch jede Teilfolge von [mm] $b_{7n}$. [/mm] Zum Beispiel: [mm] $b_{7\cdot 2k}$ [/mm] und [mm] $b_{7(2k-1)}$ [/mm] konvergieren alle gegen $C$. Diese Teilfolgen sind allerdings auch Teilfolgen von den Folgen [mm] $b_{2n}$, $b_{2n-1}$ [/mm] ;-)

Bezug
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