Teilraumbeweis im C^3 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Di 06.05.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden Teilmengen von [mm] \IC^{3}:
[/mm]
[mm] T_{1}:=\begin{cases} \vektor{ a \\ b \\ c } \in \IC^{3} | 5a-2b=0 \end{cases} [/mm] und [mm] T_{2}:=\begin{cases} \vektor{ a \\ b \\ c } \in \IC^{3} | c=1 \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] T_{1} [/mm] ein Teilraum des [mm] \IC^{3} [/mm] ist.
b) Zeigen Sie, dass die Menge
[mm] B:=\begin{cases} \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{ 2 \\ 5 \\ 0 } \end{cases} [/mm]
linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von [mm] T_{1} [/mm] bildet. Entscheiden Sie, ob B eine Basis von [mm] T_{1} [/mm] ist.
c) Bestimmen Sie die Dimension von [mm] T_{1}.
[/mm]
d) Zeigen Sie, dass [mm] T_2 [/mm] kein Teilraum des [mm] \IC^{3} [/mm] ist.
(Irgendwie fehlen die Klammern am Schluss der Menge...) |
Hi!
Fangen wir mal an. Um zu zeigen ob [mm] T_{1} [/mm] ein Teilraum des [mm] \IC^{3} [/mm] ist müssen drei Eigenschaften erfüllt sein.
1. Es darf keine leere Menge sein.
2. Es muss abgeschlossen sein bzgl. der Addition.
3. Es muss abgeschlossen sein bzgl. der Multiplikation.
[mm] T_{1} [/mm] ist schonmal keine leere Menge. Es ist z.B. der Vektor [mm] \vektor{ 2 \\ 5 \\ 0 } [/mm] enthalten. (Ist damit der Nachweis bereits abgeschlossen, oder kann man das allgemeiner darstellen?)
Abgeschlossen bzgl. der Addition ist es, wenn ich einen beliebigen Vektor aus der Menge mit einem weiteren beliebigen Vektor addiere, und dieser dann wieder in der Menge liegt. Ist das so richtig? Wenn ja, wie schreibe ich das vernünftig auf?
Abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist fast wie bei der Addition. Ich Multipliziere den Vektor mit einem beliebigen Skalar und das Ergebnis liegt in der Teilmenge des [mm] \IC^{3}. [/mm] Ist das so richtig? Und auch hier ist die allgemeine Schreibweise wieder das Problem.
Zu den anderen Aufgaben komme ich später.... :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die folgenden Teilmengen von [mm]\IC^{3}:[/mm]
>
> [mm]T_{1}:=\begin{cases} \vektor{ a \\ b \\ c } \in \IC^{3} | 5a-2b=0 \end{cases}[/mm]
> und [mm]T_{2}:=\begin{cases} \vektor{ a \\ b \\ c } \in \IC^{3} | c=1 \end{cases}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]T_{1}[/mm] ein Teilraum des [mm]\IC^{3}[/mm] ist.
>
> b) Zeigen Sie, dass die Menge
>
> [mm]B:=\begin{cases} \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{ 2 \\ 5 \\ 0 } \end{cases}[/mm]
>
> linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von [mm]T_{1}[/mm]
> bildet. Entscheiden Sie, ob B eine Basis von [mm]T_{1}[/mm] ist.
>
> c) Bestimmen Sie die Dimension von [mm]T_{1}.[/mm]
>
> d) Zeigen Sie, dass [mm]T_2[/mm] kein Teilraum des [mm]\IC^{3}[/mm] ist.
>
> (Irgendwie fehlen die Klammern am Schluss der Menge...)
> Hi!
>
> Fangen wir mal an. Um zu zeigen ob [mm]T_{1}[/mm] ein Teilraum des
> [mm]\IC^{3}[/mm] ist müssen drei Eigenschaften erfüllt sein.
>
> 1. Es darf keine leere Menge sein.
>
> 2. Es muss abgeschlossen sein bzgl. der Addition.
>
> 3. Es muss abgeschlossen sein bzgl. der Multiplikation.
>
> [mm]T_{1}[/mm] ist schonmal keine leere Menge. Es ist z.B. der
> Vektor [mm]\vektor{ 2 \\ 5 \\ 0 }[/mm] enthalten. (Ist damit der
> Nachweis bereits abgeschlossen, oder kann man das
> allgemeiner darstellen?)
O.K. Du hast gezeigt: [mm] T_1 \ne \emptyset. [/mm] Einfacher: [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 } \in T_1
[/mm]
>
> Abgeschlossen bzgl. der Addition ist es, wenn ich einen
> beliebigen Vektor aus der Menge mit einem weiteren
> beliebigen Vektor addiere, und dieser dann wieder in der
> Menge liegt. Ist das so richtig?
Ja
> Wenn ja, wie schreibe ich
> das vernünftig auf?
Seien [mm] \vektor{ a \\ b \\ c }, \vektor{ x \\ y \\ z} \in T_1.
[/mm]
Es ist [mm] \vektor{ a \\ b \\ c }+ \vektor{ x \\ y \\ z}= \vektor{ a+x \\b+ y \\c+ z}
[/mm]
Zu zeigen ist:
5(a+x)-2(b+y)=0.
Wenn Du das hast, kannst Du sicher sein, dass [mm] \vektor{ a \\ b \\ c }+ \vektor{ x \\ y \\ z} \in T_1 [/mm] ist.
>
> Abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist fast wie bei der
> Addition. Ich Multipliziere den Vektor mit einem beliebigen
> Skalar und das Ergebnis liegt in der Teilmenge des [mm]\IC^{3}.[/mm]
> Ist das so richtig?
Ja.
> Und auch hier ist die allgemeine
> Schreibweise wieder das Problem.
>
Orientiere Dich an der Addition.
FRED
> Zu den anderen Aufgaben komme ich später.... :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 06.05.2014 | | Autor: | fuoor |
Danke für die ANtwort.
Ich habe nun also geschrieben:
1.
[mm] T_{1} \not=\emptyset
[/mm]
weil
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \in T_{1} [/mm] da 5*0-2*0=0
[mm] 2.T_{1} [/mm] ist abgeschlossen bzgl. der Addition
Für
[mm] \vec{x} \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}, \vec{y} \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} \in T_{1}
[/mm]
ist
[mm] x_{2}=\bruch{5x_{1}}{2} [/mm] und [mm] y_{2}=\bruch{5y_{1}}{2} [/mm] da 5a-2b=0 [mm] \Rightarrow b=\bruch{5a}{2}
[/mm]
so dass gilt
[mm] x_{2}+y_{2}=\bruch{5x_{1}+5y_{1}}{2} \gdw 2(x_{2}+y_{2})=5(x_{1}+y_{1}) \gdw 5(x_{1}+y_{1})-2(x_{2}+y_{2})=0
[/mm]
Somit ist [mm] T_{1} [/mm] abgeschlossen bzgl. der Addition.
3. [mm] T_{1} [/mm] ist abgeschlossen bzgl. der skalaren Multiplikation.
Für
[mm] \vec{x}:= \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in T_{1}, [/mm] a [mm] \in \IC
[/mm]
ist
[mm] b=\bruch{5a}{2} \gdw x_{2}=\bruch{5x_{1}}{2}
[/mm]
so dass gilt
[mm] a(x_{2})=a(\bruch{5x_{1}}{2}) \Rightarrow a\*\vec{x} \in T_{1}
[/mm]
Da [mm] T_{1} [/mm] eine nicht-leere, gzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossene Menge ist, ist [mm] T_{1} [/mm] ein Teilraum des [mm] \IC^{3}.
[/mm]
Ist das so richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 06.05.2014 | | Autor: | fuoor |
Ohje....
wie zeige ich denn nun dass die Menge linear unabhängig ist?
Linear unabhängig ist sie, wenn die einzige Lösung um auf den [mm] \vec{0} [/mm] zu kommen die 0 ist. Soweit so gut. Wie mache ich das aber klar? Rechne ich [mm] \alpha_{1} \vec{a}+\alpha_{2} \vec{b}=0? [/mm] Oder kann ich die lineare Unabhängigkeit anders zeigen?
Ein Erzeugendeensystem ist es, wenn ich jeden beliebigen [mm] \vec{x} [/mm] als kombination darstellen kann, richtig?
B sollte also folgerichtig auch eine Basis von [mm] T_{1} [/mm] sein. Aber wie schreibe ich das auf?
Die dimension des Teilraums sollte ja gleich der Dimension des [mm] \IC^{3} [/mm] sein, also [mm] dim(T_{1})=3. [/mm] Kann ich das einfach so schreiben oder muss da was gerechnet werden?
Dass d kein Teilraum des [mm] \IC^{3} [/mm] ist weise ich dadurch nach, indem ich zeige dass ein Kriterium nicht erfüllt ist, richtig?
Vielen Dank für den Support!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:08 Mi 07.05.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ohje....
>
> wie zeige ich denn nun dass die Menge linear unabhängig
> ist?
>
> Linear unabhängig ist sie, wenn die einzige Lösung um auf
> den [mm]\vec{0}[/mm] zu kommen die 0 ist. Soweit so gut. Wie mache
> ich das aber klar? Rechne ich [mm]\alpha_{1} \vec{a}+\alpha_{2} \vec{b}=0?[/mm]
Ja, für [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$, $\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{2 \\ 5 \\ 0}$ [/mm] einsetzen.
Das lineare Gleichungssystem lösen. Wenn [mm] $\alpha_1 [/mm] = [mm] \alpha_2 [/mm] = 0$ heraus kommt,
sind die beiden Vektoren linear unabhängig.
> Oder kann ich die lineare Unabhängigkeit anders zeigen?
>
> Ein Erzeugendeensystem ist es, wenn ich jeden beliebigen
> [mm]\vec{x}[/mm] als kombination darstellen kann, richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> B sollte also folgerichtig auch eine Basis von [mm]T_{1}[/mm] sein.
> Aber wie schreibe ich das auf?
Wenn B ein Erzeugendensystem von [mm] $T_1$ [/mm] ist, und die Vektoren in B
linear unabhängig sind, so ist B eine Basis von [mm] $T_1$.
[/mm]
>
> Die dimension des Teilraums sollte ja gleich der Dimension
> des [mm]\IC^{3}[/mm] sein, also [mm]dim(T_{1})=3.[/mm] Kann ich das einfach
> so schreiben oder muss da was gerechnet werden?
Nein, die Dimension des Teilraums [mm] $T_1$ [/mm] ist kleiner gleich der Dimension
des [mm] $\IC^3$. ($dim(T_1) \le dim(\IC^3)$)
[/mm]
Da [mm] $T_1$ [/mm] ein endlichdimensionaler Vektorraum ist, und eine Basis mit
zwei Vektoren hat, ist die Dimension von [mm] $T_1$ [/mm] 2. [mm] ($dim(T_1) [/mm] = 2$)
>
> Dass d kein Teilraum des [mm]\IC^{3}[/mm] ist weise ich dadurch
> nach, indem ich zeige dass ein Kriterium nicht erfüllt
> ist, richtig?
>
>
> Vielen Dank für den Support!
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:12 Mi 07.05.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Danke für die ANtwort.
>
> Ich habe nun also geschrieben:
>
> 1.
>
> [mm]T_{1} \not=\emptyset[/mm]
>
> weil
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0} \in T_{1}[/mm] da 5*0-2*0=0
>
>
> [mm]2.T_{1}[/mm] ist abgeschlossen bzgl. der Addition
>
> Für
>
> [mm]\vec{x} = \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}, \vec{y} = \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} \in T_{1}[/mm]
>
> ist
>
> [mm]x_{2}=\bruch{5x_{1}}{2}[/mm] und [mm]y_{2}=\bruch{5y_{1}}{2}[/mm] da
> 5a-2b=0 [mm]\Rightarrow b=\bruch{5a}{2}[/mm]
>
> so dass gilt
>
> [mm]x_{2}+y_{2}=\bruch{5x_{1}+5y_{1}}{2} \gdw 2(x_{2}+y_{2})=5(x_{1}+y_{1}) \gdw 5(x_{1}+y_{1})-2(x_{2}+y_{2})=0[/mm]
>
> Somit ist [mm]T_{1}[/mm] abgeschlossen bzgl. der Addition.
>
>
> 3. [mm]T_{1}[/mm] ist abgeschlossen bzgl. der skalaren
> Multiplikation.
>
> Für
>
> [mm]\vec{x}:= \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in T_{1},[/mm] a [mm]\in \IC[/mm]
>
> ist
>
> [mm]b=\bruch{5a}{2} \gdw x_{2}=\bruch{5x_{1}}{2}[/mm]
>
> so dass gilt
>
> [mm]a(x_{2})=a(\bruch{5x_{1}}{2}) \Rightarrow a\*\vec{x} \in T_{1}[/mm]
>
> Da [mm]T_{1}[/mm] eine nicht-leere, gzgl. der Addition und der
> skalaren Multiplikation abgeschlossene Menge ist, ist [mm]T_{1}[/mm]
> ein Teilraum des [mm]\IC^{3}.[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Gruß
meili
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