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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Do 26.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | (a) Die Kraft [mm] \overrightarrow{F} [/mm] = (-10, 2, [mm] 5)^{T} [/mm] verschiebt eine Masse vom Punkt A = (1, -5, 3) in
den Punkt B = (0, 1, 4). Welche Arbeit wird verrichtet?
(b) Ein Körper ist im Punkt [mm] P_{1} [/mm] = (1, 1, 1) drehbar angebracht. Im Punkt [mm] P_{2} [/mm] = (5, -1, -2) greift
eine Kraft [mm] \overrightarrow{F} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] F [mm] \parallel [/mm] = 100 an, die in der [mm] x_{1}x_{3}-Ebene [/mm]
liegt. Berechnen Sie, welche Komponenten [mm] \overrightarrow{F} [/mm] haben muss, damit ein maximales
Drehmoment hervorgerufen wird.
(c) Gegeben sei die Kraft [mm] \overrightarrow{F} [/mm] = (3, -2, [mm] 2)^{T}. [/mm] Welchen Winkel schließt die Richtung
der Kraft [mm] \overrightarrow{F} [/mm] mit den positiven Richtungen der [mm] x_{1}-,x_{2}- [/mm] und [mm] x_{3}-Achse [/mm] ein?
bestimmen Sie ferner die Norm der Kraft [mm] \overrightarrow{F} [/mm] und die Norm der orthogonalen
Projektion von [mm] \overrightarrow{F} [/mm] in (positive) [mm] x_{1}-,x_{2}- [/mm] und [mm] x_{3}-Richtung. [/mm] |
Hallo, ich wollte wissen, ob es so korrekt ist, wie ich es gemacht habe oder ob es
Verbesserungsvorschläge gibt.
zu (a):
Ich habe zunächst den Ursprung in den punkt A verlegt und erhalte dann [mm] B_{1} [/mm] = (-1, 6, 1)
Anschließend habe ich das Skalarprodukt der Kraft und des neuen Punktes [mm] B_{1} [/mm] berechnet, da die
Arbeit(A) als Kraft*Weg definiert ist und ich quasi drei Wege habe.
A = [mm] A_{1} [/mm] + [mm] A_{2} [/mm] + [mm] A_{3} [/mm] = [mm] (F_{1}*B_{1})+(F_{2}*B_{2})+(F_{3}*B_{3})
[/mm]
= 27 (was für eine Einheit würde ich da hinschreiben?)
zu (b):
Zunächst berechne ich den Hebelarm
[mm] P_{2} [/mm] - [mm] P_{1} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ -3} [/mm] = [mm] \overrightarrow{H}
[/mm]
Das Drehmoment wird maximal, wenn Kraft und Hebelarm senkrecht aufeinander stehen. Also
[mm] \vec{H}*\vec{F} [/mm] = 0
Da [mm] \vec{F} [/mm] in der [mm] x_{1}x_{3}-Ebene [/mm] liegt, ist [mm] F_{2} [/mm] = 0. Dann folgt daraus:
[mm] 4F_{1} [/mm] + (-2*0) + (-3 * [mm] F_{3}) [/mm] = 0
[mm] \gdw 4F_{1} [/mm] = [mm] 3F_{3} [/mm] wähle [mm] F_{1} [/mm] = 3
[mm] \gdw F_{3} [/mm] = 4
Die Kraft [mm] \vec{F} [/mm] müsste also folgende Komponenten besitzen [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 4} [/mm] bzw. ein Vielfaches
davon, also [mm] t*\vec{F}.
[/mm]
zu (c):
Hier habe ich jetzt nicht wirklich Lust die Rechnung detailliert zu schreiben. Ich würde drei
Vektoren aufstellen, welche die Achsen beschreiben. Anschließend immer Winkel zw. einer der Achsen
und der Kraft berechnen.
Für die Norm würde ich den dreidimensionalen Pythagoras benutzen [mm] \wurzel{(F_{1})^{2} + (F_{2})^{2} + (F_{3})^{2}}.
[/mm]
Lediglich bei der orthogonalen Projektion bin ich mir nicht sicher. Hier würde ich einfach sagen,
dass die entsprechenden Komponenten des Vektors die jeweiligen Projektionen in die positiven
Richtungen der Achsen sind, wobei es keine für die [mm] x_{2}-Achse [/mm] gibt.
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Do 26.01.2012 | | Autor: | meili |
Hallo al3pou,
> (a) Die Kraft [mm]\overrightarrow{F}[/mm] = (-10, 2, [mm]5)^{T}[/mm]
> verschiebt eine Masse vom Punkt A = (1, -5, 3) in
> den Punkt B = (0, 1, 4). Welche Arbeit wird
> verrichtet?
> (b) Ein Körper ist im Punkt [mm]P_{1}[/mm] = (1, 1, 1) drehbar
> angebracht. Im Punkt [mm]P_{2}[/mm] = (5, -1, -2) greift
> eine Kraft [mm]\overrightarrow{F}[/mm] mit [mm]\parallel[/mm] F [mm]\parallel[/mm] =
> 100 an, die in der [mm]x_{1}x_{3}-Ebene[/mm]
> liegt. Berechnen Sie, welche Komponenten [mm]\overrightarrow{F}[/mm]
> haben muss, damit ein maximales
> Drehmoment hervorgerufen wird.
> (c) Gegeben sei die Kraft [mm]\overrightarrow{F}[/mm] = (3, -2,
> [mm]2)^{T}.[/mm] Welchen Winkel schließt die Richtung
> der Kraft [mm]\overrightarrow{F}[/mm] mit den positiven Richtungen
> der [mm]x_{1}-,x_{2}-[/mm] und [mm]x_{3}-Achse[/mm] ein?
> bestimmen Sie ferner die Norm der Kraft [mm]\overrightarrow{F}[/mm]
> und die Norm der orthogonalen
> Projektion von [mm]\overrightarrow{F}[/mm] in (positive)
> [mm]x_{1}-,x_{2}-[/mm] und [mm]x_{3}-Richtung.[/mm]
> Hallo, ich wollte wissen, ob es so korrekt ist, wie ich es
> gemacht habe oder ob es
> Verbesserungsvorschläge gibt.
>
> zu (a):
>
> Ich habe zunächst den Ursprung in den punkt A verlegt und
> erhalte dann [mm]B_{1}[/mm] = (-1, 6, 1)
> Anschließend habe ich das Skalarprodukt der Kraft und des
> neuen Punktes [mm]B_{1}[/mm] berechnet, da die
> Arbeit(A) als Kraft*Weg definiert ist und ich quasi drei
> Wege habe.
>
> A = [mm]A_{1}[/mm] + [mm]A_{2}[/mm] + [mm]A_{3}[/mm] =
> [mm](F_{1}*B_{1})+(F_{2}*B_{2})+(F_{3}*B_{3})[/mm]
> = 27 (was für eine Einheit würde ich da
> hinschreiben?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Na eine Einheit für Arbeit.
Wenn die Einheiten der Achsen deines Koordinatensystem z.B. m (Meter)
sind, und die Kraft(komponenten) in N (Newton) angegeben sind,
Nm.
>
> zu (b):
>
> Zunächst berechne ich den Hebelarm
>
>
> [mm]P_{2}[/mm] - [mm]P_{1}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -2 \\ -3}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{H}[/mm]
>
> Das Drehmoment wird maximal, wenn Kraft und Hebelarm
> senkrecht aufeinander stehen. Also
>
> [mm]\vec{H}*\vec{F}[/mm] = 0
>
> Da [mm]\vec{F}[/mm] in der [mm]x_{1}x_{3}-Ebene[/mm] liegt, ist [mm]F_{2}[/mm] = 0.
> Dann folgt daraus:
>
> [mm]4F_{1}[/mm] + (-2*0) + (-3 * [mm]F_{3})[/mm] = 0
> [mm]\gdw 4F_{1}[/mm] = [mm]3F_{3}[/mm] wähle [mm]F_{1}[/mm] = 3
> [mm]\gdw F_{3}[/mm] = 4
>
> Die Kraft [mm]\vec{F}[/mm] müsste also folgende Komponenten
> besitzen [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 4}[/mm] bzw. ein Vielfaches
> davon, also [mm]t*\vec{F}.[/mm]
Es ist aber noch [mm]\parallel[/mm] F [mm]\parallel[/mm] = 100 gegeben.
Daraus kann man die Komponenten von [mm]\vec{F}.[/mm] berechnen.
[mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 4}[/mm] ist nicht ok.
>
> zu (c):
>
> Hier habe ich jetzt nicht wirklich Lust die Rechnung
> detailliert zu schreiben. Ich würde drei
> Vektoren aufstellen, welche die Achsen beschreiben.
> Anschließend immer Winkel zw. einer der Achsen
> und der Kraft berechnen.
> Für die Norm würde ich den dreidimensionalen Pythagoras
> benutzen [mm]\wurzel{(F_{1})^{2} + (F_{2})^{2} + (F_{3})^{2}}.[/mm]
>
> Lediglich bei der orthogonalen Projektion bin ich mir nicht
> sicher. Hier würde ich einfach sagen,
> dass die entsprechenden Komponenten des Vektors die
> jeweiligen Projektionen in die positiven
> Richtungen der Achsen sind, wobei es keine für die
> [mm]x_{2}-Achse[/mm] gibt.
?
>
> Gruß
> al3pou
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 26.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, also hab die Komponenten von [mm] \vec{F} [/mm] nochmal neu ermittelt und komme dann auf
[mm] \vektor{60 \\ 0 \\ 80}
[/mm]
Was ist denn die orthogonale Projektion? Ich dachte das wäre einfach von der Spitze des Vektors auf die
Ebene, die von zwei Achsen aufgespannt wird und dann müsste ich ja nur die Länge vom Punkt bis zu einer
Achse messen und das ist dann meine Projektion bzw es ist selbst ein Vektor parallel zur Achse und
davon nehme ich dann die Norm, wobei es doch einfach die jeweilige Komponente des Vektors ist. Also x,y oder z bzw [mm] x_{1},x_{2} [/mm] oder [mm] x_{3}.
[/mm]
Gruß
al3pou
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Do 26.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
noch zu a)
du schreibst besser Differenzvektor [mm] \vec{AB} [/mm] statt verschieben von A in den Nullpunkt, Die Rechnung bleibt dieselbe.
die orthogonale projektion ist einfach die Komponente in der gegebenen richtung, also das Skalarprodukt mit dem Einheitsvektor der Richtung, in diese, fall also wirklich einfach die Komponenten von F.
Formal also [mm] F*(1,0,0)^T [/mm] für die Projektion in x1 Richtung.
Gruss leduart
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