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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:39 Fr 28.12.2007 | | Autor: | IG0R |
| Aufgabe | x = [mm] \bruch{sinh(r)cos(\beta)}{cosh(r)-cos(\alpha)},
[/mm]
y = [mm] \bruch{sinh(r) sin(\beta)}{cosh(r) - cos(\alpha)},
[/mm]
z = [mm] \bruch{sin(\alpha)}{cosh(r)-cos(\alpha)}. [/mm] |
1. Frage: Warum kann man mit (r, [mm] \alpha, \beta) \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] x (- [mm] \pi, \pi] [/mm] x (- [mm] \pi, \pi] [/mm] fast alle Punkte (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] erreichen?
2. Frage: Zeigen Sie, dass man mit der Abbildung [mm] \varphi: [/mm] (r, [mm] \alpha, \beta) \to [/mm] (x,y,z) in fast jedem Punkt ( [mm] r_0, \alpha_0, \beta_0) \in \IR^3 [/mm] lokal einen Diffeomorphismus bilden kann. In welcher Nullmenge lässt sich lokal kein Diffeomorphismus bilden?
3. Frage: Berechnen Sie [mm] \det( \varphi') [/mm] und [mm] \det( \varphi^{inv})', [/mm] wo diese definiert sind.
Ich habe leider bis jetzt keine Lösungsansätze gefunden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Sa 29.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Zu Teil a) solltest du dir überlegen, ob die Abbildung von [mm](r,\alpha,\beta)[/mm] nach [mm](x,y,z)[/mm] überall umkehrbar ist.
Für Teil b) würde ich an deiner Stelle vom Satz über inverse Funktionen ausgehen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 So 30.12.2007 | | Autor: | jumape |
Das habe ich nicht so ganz verstanden. Versuche ich jetzt die Funktionen nach [mm] \alpha, \beta [/mm] und r aufzulösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 30.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das habe ich nicht so ganz verstanden. Versuche ich jetzt
> die Funktionen nach [mm]\alpha, \beta[/mm] und r aufzulösen?
Das kannst du tun, ist aber recht mühsam. Du musst dir überlegen, dass fast jeder Punkt [mm](x,y,z)[/mm] durch geeignete Werte von [mm]\alpha, \beta[/mm] und r dargestellt werden kann.
Benutze dafür die Stetigkeit der Abbildung!
Zunächst einmal beschreibt der Winkel [mm]\beta[/mm] eine Drehung um die z-Achse, und
[mm]\tan\beta = \bruch{y}{x}[/mm].
Daher reicht es zum Beispiel, sich den Fall y=0, also [mm]\beta=0[/mm] zu betrachten, denn alle anderen möglichen Werte von y kann man ja durch eine Änderung von [mm]\beta[/mm] allein erreichen.
Ferner ist klar, dass [mm]z=0\gdw \alpha=0[/mm], und [mm]x=0 \gdw r=0[/mm].
Für [mm]\alpha=0[/mm] hat die Koordinatentransformation eine Unstetigkeitsstelle. Überlege dir, was in diesem Fall der Zusammenhang zwischen r und x ist! Kann in diesem Fall jeder Wert von x durch einen passenden Wert von r erreicht werden?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Fr 04.01.2008 | | Autor: | maddhe |
Hallo zusammen!
Ich sitze auch gerade an dieser Aufgabe..
Meiner Meinung nach stimmt [mm]z=0 \gdw \alpha=0[/mm] nicht, denn man darf [mm]\alpha=\pi\[/mm] wählen und bekommt z=0, aber auch [mm]x= \bruch{sinh(r)}{cosh(r)+1}[/mm] Das ergibt zumindest, dass [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] erreichbar ist... aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter...
Was heißt überhaupt "fast jeder Punkt"? Sucht man wirklich konkrete Punkte, die nicht erreicht werden?
Wär super, wenn wir den Artikel hier nochmal reaktiviert bekämen
viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Fr 04.01.2008 | | Autor: | IG0R |
Also "fast jeder Punkt" heißt meines erachtens, dass es nur endlich viele Ausnahmen gibt.
Wenn man den Punkt (0,0,0) erreichen kann, dann würde mich jetzt schon interessieren, welche man denn nicht erreichen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Fr 04.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Plotte dir doch in der xz-Ebene, also für [mm]\beta=0[/mm], die Linien für konstantes r ([mm]-\pi<\alpha\le\pi[/mm] für mehrere Werte von r) und für konstantes [mm]\alpha[/mm] ([mm]r\ge0[/mm] für mehrere Werte von [mm]\alpha[/mm]).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:08 Fr 04.01.2008 | | Autor: | IG0R |
In der Skizze die uns gegeben ist ( [mm] \beta [/mm] = 0 ) sieht es so aus als könnte man alle Werte abgesehen von x < 0 erreichen. Also zumindest bei x = 0 scheinen keine Probleme aufzutauchen oder soll ich nach was ganz anderem Ausschau halten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 06.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Fr 04.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Meiner Meinung nach stimmt [mm]z=0 \gdw \alpha=0[/mm] nicht, denn
> man darf [mm]\alpha=\pi\[/mm] wählen und bekommt z=0, aber auch [mm]x= \bruch{sinh(r)}{cosh(r)+1}[/mm]
Stimmt, da habe ich nicht darauf geachtet, dass [mm]\pi[/mm] ja ein erlaubter Wert für [mm]\alpha[/mm] ist (im Gegensatz zu [mm]-\pi[/mm]).
> Das ergibt zumindest, dass [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] erreichbar
> ist... aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter...
Ganz wichtig: die Transformation ist fast überall stetig. Bedenke, für stetige Funktionen der Zwischenwertsatz gilt, wenn also zwei Werte angenommen werden, dann auch alle Werte dazwischen!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Blueman |
Hat sich eigentlich schon jemand an Aufgabe 1.2. und 1.3 getraut?
Wie überprüft man denn, ob man in fast jedem Punkt (r, [mm] \alpha, \beta) [/mm] einen lokalen Diffeomorphismus bilden kann? Ich habe mal die Funktion, die schon in der Aufgabe steht genommen. Ist das ein guter Ansatz?
Jetzt müsste man erstmal zeigen, dass sie bijektiv ist. Keine Ahnung wie. Danach die Jacobi-Matrix ausrechnen samt Determinante. Da kommen bei mir sehr extreme Terme raus. Überall dort, wo die Determinante ungleich 0 ist, kann man also einen Diffeomorphismus finden. Stimmt das so?
Weil eigentlich muss man ja zeigen, das die Ableitung existiert und stetig ist. Aber wie zeigt man Stetigkeit bei so einer Funktion? Komponentenweise?
Fragen über Fragen.. Hoffe, jemand kann mir sagen, ob meine Ansätze stimmen oder ob sie falsch sind.
Viele Grüße,
Blueman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Sa 05.01.2008 | | Autor: | fenchel |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Sa 05.01.2008 | | Autor: | fenchel |
> Hat sich eigentlich schon jemand an Aufgabe 1.2. und 1.3
> getraut?
>
> Wie überprüft man denn, ob man in fast jedem Punkt (r,
> [mm]\alpha, \beta)[/mm] einen lokalen Diffeomorphismus bilden kann?
> Ich habe mal die Funktion, die schon in der Aufgabe steht
> genommen. Ist das ein guter Ansatz?
> Jetzt müsste man erstmal zeigen, dass sie bijektiv ist.
> Keine Ahnung wie. Danach die Jacobi-Matrix ausrechnen samt
> Determinante. Da kommen bei mir sehr extreme Terme raus.
> Überall dort, wo die Determinante ungleich 0 ist, kann man
> also einen Diffeomorphismus finden. Stimmt das so?
> Weil eigentlich muss man ja zeigen, das die Ableitung
> existiert und stetig ist. Aber wie zeigt man Stetigkeit bei
> so einer Funktion? Komponentenweise?
Hallo,
eigentlich benutzt man schon Teil 3. um 2. zu zeigen.
Für $ [mm] \varphi: [/mm] (r, [mm] \alpha, \beta) \to [/mm] (x,y,z)$ berechnet man die Determinante der Jacobi-Matrix, guckt wo diese ungleich null ist (das können schon etwas kompliziertere Ausdrücke sein). [mm] $\varphi$ [/mm] ist diffbar, dies prüft man natürlich komponentenweise, da jede Komponentenfkt. Komposition diffbarer Funktionen. Die Ableitungen sind stetig, da Komposition aus stetigen Funktionen [mm] $\cos$, $\sin$, $\cosh$, $\sinh$ [/mm] und Konstanten.
Also kann man den Satz über lokale Umkehrfunktion anwenden für die Punkte in denen [mm] $\det(\varphi')\neq [/mm] 0$ gilt (hier ist mit [mm] $\varphi'$ [/mm] die Jacobimatrix gemeint, also die Ableitung der Funktion [mm] $\varphi$). [/mm] Aus besagtem Satz folgt dann schon, daß [mm] $\varphi$ [/mm] lokal bijektiv ist und dass die Inverse zu [mm] $\varphi$, [/mm] also [mm] $\varphi^{\text{invers}}$ [/mm] existiert und dass [mm] $\varphi^{\text{invers}}$ [/mm] lokal stetig diffbar ist. Also ist [mm] $\varphi$ [/mm] lokal in fast jedem Punkt bis auf die Ausnahmepunkte in denen [mm] $\det(\varphi')= [/mm] 0$ gilt ein Diffeomorphismus. Die Ausnahmepunkte gilt es dann noch zu bestimmen.
Gruß
fenchel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Sa 05.01.2008 | | Autor: | fenchel |
Hallo,
noch ein Hinweis:
[mm] $\varphi$ [/mm] ist nicht stetig in [mm] $(r,\alpha,\beta)=(0,0,\beta)$, ($\beta$ [/mm] kann beliebig sein). In diesem Punkt, der zum Def.bereich gehört, ist [mm] $\varphi$ [/mm] nicht definiert, da hier [mm] $\cosh(0)=1$ [/mm] und [mm] $\cos(\alpha)=1$ [/mm] gilt. Also hat dort der Nenner der Komponentenfkt.en eine Nullstelle, also [mm] $\varphi$ [/mm] eine Singularität. Da diese Unstetigkeit lokal aber nur in dem einen Punkt vorliegt bei fest gewähltem [mm] $\beta$ [/mm] (ein Punkt ist eine Menge vom Maß $0$, also eine Nullmenge) und [mm] $\varphi$ [/mm] in den anderen stetig, gilt das [mm] $\varphi$ [/mm] lokal ein Diffeomorphismus ist (bis auf diese Menge) auch weiterhin.
Gruß
fenchel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 So 06.01.2008 | | Autor: | Blueman |
Hi Fenchel
vielen Dank für deine Hilfe. Dann werd ich das jetzt so machen. Auch wenn ich wohl eine DIN A3 Seite brauchen werde, um die Jacobi-Matrix aufzuschreiben.
Nur eins ist mir noch unklar:
Für die Nullstellen der Jacobi-Determinante kann ich keinen lokalen Diffeomorphismus bilden, aber für [mm] \alpha [/mm] = r = 0 und [mm] \beta [/mm] beliebig schon? Die Nullstellen der Jacobi-Determinante sind doch auch Nullmengen. Habe da nämlich 3 Ebenen raus, auf denen die Jacobi-Det. = 0 ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 So 06.01.2008 | | Autor: | fenchel |
Hallo,
> Nur eins ist mir noch unklar:
> Für die Nullstellen der Jacobi-Determinante kann ich
> keinen lokalen Diffeomorphismus bilden, aber für [mm]\alpha[/mm] =
> r = 0 und [mm]\beta[/mm] beliebig schon? Die Nullstellen der
> Jacobi-Determinante sind doch auch Nullmengen. Habe da
> nämlich 3 Ebenen raus, auf denen die Jacobi-Det. = 0 ist.
also ich habe [mm] $\det(\varphi')$ [/mm] mal ausgerechnet. Es ist
[mm] $\det(\varphi')= \frac{\sinh(r)}{(\cosh(r)-\cos\alpha)^3}$ [/mm] und daher liegt die einzige Nullstelle von [mm] $\det(\varphi')$ [/mm] bei [mm] $\sinh(r)=0 \Leftrightarrow [/mm] r=0$.
Gruß
fenchel
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