Transformationsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Fr 23.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo. Ich bin gerade was am verzweifeln, was den Basiswechsel von Lin. Abbildungen betrifft. Ich hab hier zwei verscheidene Wege vor mir liegen (jedenfalls meine ich das) aber mal ist dies, und mal ist das richtig.
Also mal allg. gesprochen. Geg. ist ein Vektorraum V und eine Abbildung [mm] \partial [/mm] von V->V. Ferner ist eine Basis A auf V gegeben. Nun soll ich zu einer neuen Basis B wechseln. Laut Vorlesung nehm ich nun einen Vektor aus der Basis B und stell ihn als Linearkombination der Basisvektoren von A dar. Ich berechne die Koeffizienten, und dies ergbit meine erste Spalte der Tranformstionsmatrix T von A nach B. Wenn ich die Matrix nun komplett hab, invertiere ich sie. Dann rechne ich [mm] C=T^{-1}ZT,wobei [/mm] Z die Matrix der zugehörigen lin.Abbildung ist, und C die entgültige Matrix bezüglich der neuen Basis.
Nun hab ich aber vermehrt im Internet und auch in meinen Übungen, folgende Verfahrensweise gesehen: Ich hab einen Vektorraum V geg. und eine , darauf deffinierte,lin. Abbildung [mm] \partial [/mm] V->V. Dann soll ich wieder zu einer neuen Basis wechseln.
Es wird der Vektor aus der alten Basis abgebildet, und dessen Bild als Linearkombination der alten Basisvektoren geschrieben. Koeffizienten werden ausgerechnet, und ich habe die ges. Matrix. Sind diese Verfahren äquivalent??
Dannhab ich hier noch folgende Aufgabe: V ist der [mm] R^2 [/mm] , [mm] \partial [/mm] Abbildung von V->V und die Abb. ist def. durch [mm] \partial(x,y)=(2x+y,2y). [/mm] Ich soll Basen von B nach C von V finden, so daß b M c ( [mm] \partial)= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }ist. [/mm] So, nach dem ersten Verfahren, müsste diese angeg. Matrix doch meine Transformationsmatrix sein, also als Spalten die Koeffizienten enthalten, womit ich meine Lin.Kombination bilde. So seh ich das jetzt. Basis C ist ja gesucht, also würde ich folgende linear-Kombination bilden: [mm] \vektor{c_1 \\ c_2}=1* \vektor{1 \\ 0}+0* \vektor{0 \\ 1} [/mm] und mein Vektor hieße: [mm] \vektor{1 \\ 0}. [/mm] Das ist aber falsch. es muß [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] rauskommen. haaaaaae?
Also erstmal Danke, für alle, die sich die Mühe und die Zeit genommen haben, und sich diesen Artikel durchgelesen haben. Wäre lieb, wenn mich da jemand aufklären könnte.
Danke im Vorraus
Viele Grüße Benno
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ohne jetzt dein post ganz genau gelesen zu haben, denke ich doch wo das problem liegt ;) deshalb werde ich einfach mal das mit der basistrafo erklären ohne zuviel ins detail zu gehen (dazu vielleicht später):
wir haben also einen endomorphismus F:V->V (du hast nur endomorphismen angesprochen mit allg. lin abbildungen geht das aber auch). seien A und B Basen von V dann kann man F bzgl dieser basen als matrizen darstellen, nämlich [mm] M_A(F) [/mm] und [mm] M_B(F). [/mm] der zusammhenag zwischen beiden lautet:
[mm] M_B(F)=T^{A}_BM_A(F)T^B_A
[/mm]
dabei ist [mm] T^B_A=M^B_A(id_V), [/mm] also die Darstellunsmatrix der ident-abbildung bzgl. der Basis B (des Urbildraums) und der Basis A (des Bildraums). weißt du wie man diese im allgemeinen berechnen kann? ich setze dieses mal voraus (wenn nicht, fragen). [mm] (T^B_A)^{-1} [/mm] ist dann [mm] T^{A}_B.
[/mm]
jetzt zu einem speziellen fall (der dich beschäftigt): meist hat man einfach eine (reelle) matrix gegeben. diese ist a priori (falls nicht anders definiert) eine darstellungsmatrix bzgl. kanon. Basis des [mm] \IR^n. [/mm] in obiger notation ist also A die kanon. Basis. jetzt berechnen wir [mm] T^B_A=M^B_A(id_{\IR}). [/mm] die 1. spalte jener bekommst du, wenn du den 1. basisvektor von B bzgl. der kanon. Basis A darstellst. jedoch sind vektoren im [mm] \IR^n [/mm] als tupel gegeben, sodass dies ganz einfach ist. ein beispiel sei (a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm] ein 2-tupel, stellen wir in bzgl der basis (0,1) und (1,0) dar und schreiben die koordinaten als spaltenvektor (zwecks matrizenmultiplikation) so bekommen wir ganz einfach [mm] \vektor{a\\b}. [/mm] Die Spalten von [mm] T^B_A [/mm] sind also nichts anderes als die Basis B. dann nur noch invertieren und du kannst obige formel benützen, fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 23.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo. (mal wieder ;) )
Also dein Verfahren, was du mir beschreibst, war mir bekannt. Jedoch hat es mich jetzt trotzdem verwirrt. Also meine Frage ziehlte auf etwas anderes ab.
Das was ich bisher über Transformationsmarizen,Basiswechsel gelesen hab, kenn ich nu drei verschiedene Verfahren, um einen Baiswechsel durchzuführen. Ich wollte zunächst wissen, ob diese alle Äquivalent sind?!. Ich stell diese drei Verfahren mal kurz dar.
1) Das verfahren was du angegeben hast. Also man hat einen Vektorraum V gegeben, der auf einer Basis A definiert ist. Dann wechsel ich zur Basis B indem ich folgendes mache: die Darstellungsmatrix zur Basis A hab ich im Prinzip schon. Die Spalten von dieser Matrix sind die Basisvektoren von A. Dann invertiere ich diese Matrix, und zum Schluss multipliziere ich diese beiden Matrizen mit der Darstellungsmatrix der lin.Abbilduung, richitg?
2)Nach ein paar Internetseiten mach ich das folgendermaßen: Geg. Situation wie oben. Ich nehme die Vektoren aus der alten Basis, bilde sie ab und stelle sie als Linearkombination der neuen Basisvektoren dar. Die Spalten der ges. Matrix sind die Koeffizienten der Linearkombination.
3)Nach Vorlesung: ich berechne einen Basiswechsel (von Endomorphismen) wenn ich die neuen Basisvektoren, als linaer-Kombination der alten Basisvekoren darstelle, und die Koeffizienten der lin.Kombination als Spalten der Transforamtionsmatrix auffasse. Dann invertiere ich die, und multipliziere diese mit der Darstellungsmatrix.
Führen alle diese drei Verfahren zum selben Ergebniss?
(Ich hatte in meinem letzten Posting ein Beispiel geg. was nicht nach allen 3 Verfahren zum Ziel führt; Ergebniss kontneic nur mit dem 2) ermitteln)
Könntest du dir das viell. nochmal angucken. Das verwirrt mich alles ein wenig
Lieben GRuß Benno
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ich glaub ich weiss auch warum dich das verwirrt, aus den "verfahren" die du angegeben hast kann man nicht so richtig schlau werden was du da machen willst, und vielleicht weißt du das selber nicht so genau (soll jetzt keine anmache sein), deshalb kommt bei dir immer was anderes raus wie du sagtest. zum anderen habe ich ich in meiner antwort kein verfahren angegeben sondern die allgemeine formel für den basiswechsel von endomorphismen, d.h. also wenn ich so einen basiswechsel durchführen will dann funktioniert das immer so wie in der formel angegeben. wie man die formel anwendet ist eine andere sache (also verschiedene verfahren) aber ich mach immer den gleichen basiswechsel.
was du also machen musst ist [mm] T^B_A [/mm] zu finden, mehr nicht. das kann in manchen situationen schwieriger sein oder ganz trivial (falls [mm] V=\IR^n [/mm] und A kanonisch). vielleicht ist dein problem eher, dass du nicht ganz genau weißt wie das funktioniert. falls dies der fall ist, sag dies und ich versuch dir zu helfen (ansonsten schreib ich mir hier noch die finger wund ;) ).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Fr 23.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
mhmm ja, alo irgetnweo hast du recht. ich weiß nciht was ich machen soll, weil überal was anderes steht. Ich geb vielleicht mal ein konkretes Zahlenbesipiel an. Vielleicht kann man da mein Prob. besser dran erkennen. Also geg. f: [mm] \IR^3-> \IR^3 [/mm] mit f(x,y,z)=(4(x-y)+7z,3(x-y)+5z,2x-y+z)
bzgl der Basis A:= [mm] {e_1,e_1+e_2,e_1+e_2+e_3} (e_i [/mm] ist Standartbasis)
[mm] v_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, v_2=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, v_3= \vektor{1 \\ 1 \\1}
[/mm]
[mm] f(v_1)= \vektor{4 \\ 3 \\ 2} f(v_2)= \vektor{0 \\ 0 \\ 1} f(v_3)= \vektor{7 \\ 5 \\ 2}. [/mm] So, nach Vorlesung nehm ich [mm] f(v_i) [/mm] und setz diese drei Vektoren, gleich den Basisvektoren [mm] v_1,v_2,v_3
[/mm]
Also beispile für den ersten Vektor: [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 2}=r* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s* \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+t* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}. [/mm] Ich rechen die Koeffizienten aus, und die bilden die erste Spalte meiner Matrix.
Konkret: [mm] \pmat{ 1 & b_1 & c_1 \\ 1 & b_2 & c_2 \\ 2 & b_3 & c_3 }. [/mm] Das gleich machich natürlich mit den andern Basisvektoren genau so weiter. Fertig.
Das andere Verfahren würde so aussehen. Ich nehme den ersten Vektor der neuen Basis, und stell ihn als Lin.Kombination der alten Basisvektoren dar. Konkret: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}=r* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s* \vektor{0 \\ 1 \\ 0}+t* \vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Ich rechne die Koeffizienten aus die lauten r=1, s=0, t=0. SChreib sie in die Transfomatrix. [mm] S=M_k^{b}= \pmat{ 1 & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & b_3 & c_3 }. [/mm] Die Matrix, nachdem ich die anderen Spalten ausgerechnet habe, invertiere ich. So, nu rechne ich [mm] A'=S^{-1}AS= \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 }Fetig. [/mm] Gleiches Ergebniss wie oben.
Dein [mm] Verfahren:T_K^{K} [/mm] ist: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1};
[/mm]
[mm] T_K^{A} [/mm] bekomm ich wenn ich die Matrix [mm] (T_A^{K}) [/mm] invertiere, richtig? Also [mm] T^{-1}= \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 }Dann [/mm] Rechne ich das aus, und dann muß rechnen: [mm] M_K^{A}(f)=T_K^{A} *M_K^{k}* T_K^{K}.
[/mm]
Hab ich das so richtig verstanden?
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ah jetzt verstehe ich deine verschiedenen verfahren, schauen wir uns das mal an:
um sicher zu gehen, stelle ich nochmal die aufgabe:
wir haben den endomorphismus [mm] f:\IR^3->\IR^3 [/mm] mit f(x,y,z)=(4(x-y)+7z,3(x-y)+5z,2x-y+z). so wie hier das definiert worden ist stellt bzgl. der kanonischen basis (des bild und des urbildraums) folgende matrix den endom. f dar:
[mm] \pmat{4&-4&7\\3&-3&5\\2&-1&1}
[/mm]
falls ich mich nicht versehen habe. aufgabe ist es den gleichen endom. f bzgl der basis [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] darzustellen und nämlich des urbild- wie auch des bildraums.
1) das ist der direkte weg. denn wie ist eine darstelungsmatrix definiert (jetzt ganz allgemein für lin abbildungen):
sei V ein K-VR mit Basis [mm] A=(v_1,...,v_n) [/mm] und W ein K-VR mit basis [mm] B=(w_1,...,w_m), [/mm] dann gibt es zu jeder lin. abbildung F:V->W genau eine matrix (die darstellungsmatrix) [mm] a_{ij} \in [/mm] M(mxn;K), s.d. [mm] F(v_j)=\summe_{i=1}^{m}a_{ij}w_i [/mm] für j=1,...,n. und hier bastelst du dir gerade die matrix so, dass das eben gilt.
2) dies ist der weg mit der formel, den ich dir erklärt habe. prüfe es nach, du machst genau das, was ich in meinem ersten posting gesagt habe.
3) uhm da ist was schiefgelaufen, wie gesagt ist punkt (2) das verfahren mit der basistrafo formel. [mm] M^{A}_K(f) [/mm] ist die darstmatrix von f bzgl. der Basis A im Urbildraum und der kanon. Basis im Bildraum. du hast dann also verschiedene basen im bild und urbildraum, was für einen endom. aber unüblich ist, bei denen sind die basen immer gleich (klar die räume sind ja auch gleich, warum sollte ich dann versch. basen nehmen). auch ist dir formel dann falsch. für lineare abbildungen F:V->W mit Basen A,A' von V und B,B' von W gilt:
[mm] M^{A'}_{B'}(F)=T^{B}_{B'}M^{A}_{B}(F)(T^{A}_{A'})^{-1}
[/mm]
na dämmerts langsam?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Fr 23.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
hi...
Danke, für deine Antwort. Das beruhigt mich zu wissen, das mein Verfahren aus (1) äuqivalent zu dem aus (2), also zu deinem ist.Was Punkt (3) betrifft: Ja, ich hatte zum Schluss auch gemerkt das da as nicht stimmte  .
Okay, aber nun hatte ich anfangs noch eine Aufgabe gepostet, an dem ich halt meine Probleme hatte, die Aufgabe mit dem Verfahren aus (2) zu lösen. Ich schreib sie nochmal eben hin: Sei V= [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \partial: [/mm] V->V die lineare Abbildung [mm] \partial(x,y) [/mm] = (2x+y,2y)
1. Finde Basen B und C von V, so daß [mm] M_B^{c}( \partial)= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm] Also ich schreib dann nochmal das Problem an der Sache hin. Also, die Matrix [mm] M_B^{c}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] müsst ja eigentlich die Transformationsmatrix sein, oder?! Demnach enthalten die Spalten der Matrix doch die Koeffizienten, die gebraucht werden, um die Linearkombination zu bilden. Demnach müsste ich doch den ersten Einheitsvektor nehmen, diesen mit 1, und den zweiten Einheitsvektor mit 0 multiplizeiren. Der Lösungsvektor dieser Gleichung, müsste doch dann der erste Vektor in der Basis C sein, also [mm] \vektor{1 \\ 0}. [/mm] So, das stimmt aber nicht. Die ges. Basis lautet [mm] \vektor{2 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2}. [/mm] Also kann doch hier was nicht stimmen?! ist die Matrix [mm] M_B^{c}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] nicht die Transfomatrix?haaeee?!?
Jetzt versuch ich das mal mit dem Verfahren aus (1). Ich Bilde den ersten Einheitsvektor ab, und erhalte [mm] \vektor{2 \\ 0}. [/mm] Die Koeffizienten stehen in der Matrix drinne, und erhalte ja so die Gleichung [mm] \vektor{2 \\ 0}=1* \vektor{a_1 \\ b_1}+0* \vektor{a_2 \\ b_2}. [/mm] So kann mann nur auf den ges. Vektor kommen. Dies stimmt also, doch wo liegt der Fehler "oben"?
Ist Die Matrix [mm] M_B^{c} [/mm] nicht die Transmormationsmatrix? Ist damit viell. die Matrix bezgl. der Basis C gemeint. also die MAtrix die rauskäm, wenn ich folgendes LGS lösen würde: [mm] \pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }^{-1} \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }??
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Fr 23.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Benno,
es kann keine Transformationsmatrix sein, denn wenn du die Einheitsmatrix als TrafoMatrix wählst, dann transformierst du ja nichts, dass heißt : B und C sind dann gleich (aber beliebig als Basis gewählt).
Es ist also eine Darstellungsmatrix, wo du einen Vektor bzgl C reinsteckst und ihn bzgl B rausbekommst.
Und diese Matrix ändert nichts an den Koeffizienten, denn es ist die Einheitsmatrix.
Also : anstatt jetzt los zu rechnen helfen ein paar klare Gedanken :
gesucht ist eine Basis C und eine Basis B , so dass das Bild des ersten und zweiten Basisvektors von C unter [mm] $\delta [/mm] $ gerade der erste bzw. zweite Basisvektor von B ist.
Also, was macht man?
Wähle für C eine beliebige Basis und wähle dann das Bild der Basisvektoren unter [mm] $\delta [/mm] $ als Basis B.
(das Bild ist eine Basis von V, denn der Kern ist trivial)
deine letzte Formel ist übrigens trotzdem falsch, denn sie würde bedeuten, dass du eine Basis D suchst, so dass $ [mm] M_D^{D}( \partial)= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm] $
(also eine Basis aus Eigenvektoren zum Eigenraum 1 )
übrigens empfehle ich mal wieder die Artikel in der MatheBank :
 Transformationsmatrix und Transformationsformel
(inkl. Links zu den Spezialfällen)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Fr 23.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo DaMenge.
Ja, wie ich es letzlich berechne weiß ich, aber ich möchte es eben genau so machen, mit der selben Transformationsformel, die in deinem Link drinne ist.
Das war ja die Sache die mich gestört hat, das ich es danach nicht hinbekomemn hab. Geht es überhaupt nach dieser Transformationsformel?
Viele Grüße Benno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Sa 24.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi ,
es geht natürlich schon mit der Formel, aber dann müsstest du dieses System ganz allgemein lösen:
$ [mm] \pmat{ b_1 & b_3 \\ b_2 & b_4 }^{-1} \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }\pmat{ c_1 & c_3 \\ c_2 & c_4 }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
es gibt eine Formel für die Inverse einer 2x2 Matrix (in Abhängigkeit der Elemente), aber selbst dann , hast du eine sehr überbestimmtes Gleichungssystem...
Interessanter wäre die Frage nach : finde eine Basis C, so dass [mm] $M_K^C(\delta)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
also wenn man als B die kanonische Basis vorschreibt.
das entspräche gerade dem System :
[mm] $\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }\pmat{ c_1 & c_3 \\ c_2 & c_4 }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
Dies erfüllt natürlich die Inverse Matrix (bzw. deren Spalten dann als Basis C), d.h. du suchst die Urbilder der kanonischen Basisvektoren unter Delta.
also zusammenfassend :
allgemein gibt es natürlich sehr viele Lösungen für B und C, aber wenn man sich erstmal einer der beiden Basen beliebig aber fest wählt, dann ist auch das Gleichungssystem eindeutig lösbar.
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Sa 24.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hi..
> [mm]\pmat{ b_1 & b_3 \\ b_2 & b_4 }^{-1} \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }\pmat{ c_1 & c_3 \\ c_2 & c_4 }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
hm müsste das nicht :
[mm]\pmat{ c_1 & c_3 \\ c_2 & c_4 }^{-1} \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }\pmat{ c_1 & c_3 \\ c_2 & c_4 }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
heißen? Also mal ang. ich leg die Basis B als die kononische fest. dann suchich dochdie Basis C, und die schreib ich dann in dei Matrix oben und inveriere sie.
Viele Grüße Benno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Sa 24.09.2005 | | Autor: | calabi-yau |
ne das hatte ich in einem meiner frühere posts schon mal erwähnt. nur für endomorphismen bei denen ich die darstellungsmatrix bzgl. 1!! basis aufstelle ist die rechte trafomatrix gleich der invertierten linken oder anders rum halt. wie ich das mitbekommen habe sollst du den endom. bzgl 2! basen als matrix darstellen (warum auch immer) dann gilt die trafoformel für allgemeine lin. abbildung (siehe meinen post oben).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Sa 24.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
nein,
also die Formel geht davon aus, dass die kanonische Basis und die Basen B und C unterschiedlich sind und dass die mittlere Matrix in Bezug zur kanonischen gegeben ist.
(wobei hier kanonisch auch "beliebig" meint...)
Du erhälst wirklich ein sehr überbestimmtes Gleichungssystem.
Wenn du B=K vorher festlegst, dann muss die Matrix ganz links verschwinden, denn die mittlere Matrix liefert dir dein Ergebnis schon in Bezug auf Basis K ...
D.H. in diesem Fall hast du nur das System :
[mm] $\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }\pmat{ c_1 & c_3 \\ c_2 & c_4 }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
wobei dann die Spalten der Matrix rechts deine neue Basis C repräsentieren.
(und das werden gerade die Urbilder der Einheitsvektoren sein)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:56 Mo 26.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
..ah, ja verstehe.
So, nachdem ich es nochmal selbst alles durchgerechnet hab, denke ich, das ich's jetzt hab. Danke nochmal an euch beide.
Grüße benno
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