Umformungen ln und e < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mo 28.02.2022 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das [mm] \integral_{ln(3)-a}^{ln(3)+a}{f(x) dx} [/mm] = 10*a ist; mit a > 0.
f(x) = [mm] \bruch{10}{1+9*e^{-2x}} [/mm] |
Moin Moin,
1. Stammfunktion bilden
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{10}{1+9*e^{-2x}} dx}
[/mm]
= [mm] 10*\integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+9*e^{-2x}} dx}
[/mm]
= [mm] 10*\integral_{}^{}{ \bruch{1*e^{2x}}{(1+9*e^{-2x})*e^{2x})} dx}
[/mm]
= [mm] 10*\integral_{}^{}{ \bruch{e^{2x}}{e^{2x}+9} dx}
[/mm]
Substitution
u = [mm] e^{2x}+9 [/mm]
u ' = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm]
[mm] 2*e^{2x} [/mm] = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm]
=> dx = [mm] \bruch{du}{2*e^{2x}}
[/mm]
= [mm] 10*\integral_{}^{}{ \bruch{e^{2x}}{u}*\bruch{du}{2*e^{2x}}}
[/mm]
= [mm] 5*\integral_{}^{}{ \bruch{1}{u}*du}
[/mm]
= 5*ln(u)
Resubstitution
F(x) = [mm] 5*ln(e^{2x} [/mm] +9) +C
=> [mm] \integral_{ln(3)-a}^{ln(3)+a}{f(x) dx} [/mm]
2. Grenzen einsetzen
= F(ln(3)+a) - F(ln(3)-a)
[mm] 5*ln(e^{2*(ln(3)+a)} [/mm] +9) - [mm] 5*ln(e^{2*(ln(3)-a)} [/mm] +9)
[mm] 5*ln(e^{ln(3)^2}*e^{2a} [/mm] +9) - [mm] 5*ln(e^{ln(3)^2}*e^{-2a} [/mm] +9)
[mm] 5*ln(9*e^{2a}+9) [/mm] - [mm] 5*ln(9*e^{-2a}+9) [/mm]
[mm] 5*(ln(9*e^{2a}+9) [/mm] - [mm] ln(9*e^{-2a}+9) [/mm] )
Die Differenz zweier Logarithmen kann man vereinfachen
[mm] log_b [/mm] (a) - [mm] log_b(c) [/mm] = [mm] log_b (\bruch{a}{c})
[/mm]
[mm] =>5*ln(\bruch{9*e^{2a}+9}{9*e^{-2a}+9})
[/mm]
= [mm] 5*ln(\bruch{9*(e^{2a}+1)}{9*(e^{-2a}+1)})
[/mm]
= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{e^{-2a}+1})
[/mm]
= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{(\bruch{1}{e^{2a}}+1)})
[/mm]
= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{(\bruch{1}{e^{2a}}+\bruch{1*e^{2a}}{e^{2a}})})
[/mm]
= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{(\bruch{1+e^{2a}}{e^{2a}})})
[/mm]
= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}+1}{1}*{\bruch{e^{2a}}{e^{2a}+1}})
[/mm]
= [mm] 5*ln(\bruch{e^{2a}}{1})
[/mm]
= 5*2a
= 10*a
richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:45 Di 01.03.2022 | | Autor: | statler |
Hallo,
>
> richtig?
>
ich habe erstmal keinen Fehler entdeckt, also ja.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Di 01.03.2022 | | Autor: | fred97 |
Auch ich sehe keine Fehler, habe aber einen weiteren Lösungsvorschlag:
Setze $G(t):= [mm] \int_0^t [/mm] f(x) dx$ und $F(a):= [mm] \integral_{\ln(3)-a}^{\ln(3)+a}{f(x) dx}$ [/mm] für $a [mm] \ge [/mm] 0.$
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist $G$ differenziebar und $G'(t)=f(t).$ Damit ist $F$ differenzierbar und (nachrechnen !)
$F'(a)=f( [mm] \ln [/mm] (3)+a)+f( [mm] \ln [/mm] (3)-a).$
Das liefert (ebenfalls nachrechnen !):
$F'(a)=10.$
Mit einer Konatanten $c$ ist also $F(a)=10a+c.$ Wegen $F(0)=0$ folgt $c=0$ und somit
$F(a)=10a.$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Di 01.03.2022 | | Autor: | hase-hh |
Interessante Idee! ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 01.03.2022 | | Autor: | hase-hh |
Warum ist F ' (a) = f(ln(3)+a) plus f(ln(3) -a) und nicht minus?
Rechnung nach deiner Idee ist jedenfalls:
F ' (a) = f(ln(3)+a) + f(ln(3) -a)
F ' (a) = [mm] \bruch{10}{1+9*e^{-2*(ln(3)+a)}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+9*e^{-2*(ln(3)-a)}}
[/mm]
F ' (a) = [mm] \bruch{10}{1+9*(e^{(ln(3)})^{-2}*e^{-2a}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+9*(e^{(ln(3)})^{-2}*e^{2a}}
[/mm]
F ' (a) = [mm] \bruch{10}{1+9*\bruch{1}{9}*e^{-2a}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+9*\bruch{1}{9}*e^{2a}}
[/mm]
F ' (a) = [mm] \bruch{10}{1+e^{-2a}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+e^{2a}}
[/mm]
F ' (a) = [mm] \bruch{10*e^{2a}}{(1+e^{-2a})*e^{2a}} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+e^{2a}}
[/mm]
F ' (a) = [mm] \bruch{10*e^{2a}}{e^{2a}+1} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1+e^{2a}}
[/mm]
F ' (a) = [mm] \bruch{10*e^{2a}+10}{e^{2a}+1} [/mm]
F ' (a) = [mm] \bruch{10*(e^{2a}+1)}{e^{2a}+1} [/mm]
F ' (a) = 10.
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Di 01.03.2022 | | Autor: | fred97 |
> Warum ist F ' (a) = f(ln(3)+a) plus f(ln(3) -a) und
> nicht minus?
Es ist
[mm] $F(a)=G(\ln3 [/mm] +a)-G( [mm] \ln [/mm] 3 -a)$
also
$F'(a)= [mm] G'(\ln [/mm] e [mm] +a)-G'(\ln [/mm] 3-a) [mm] \cdot [/mm] (-1).$
$(-1)$ kommt durch die Kettenregel zustande: [mm] $\frac{d}{d a}(\ln [/mm] 3 -a)=-1.$
Somit
$F'(a)= [mm] G'(\ln [/mm] e [mm] +a)+G'(\ln [/mm] 3-a) = [mm] f(\ln [/mm] e [mm] +a)+f(\ln [/mm] 3-a) .$
>
>
> Rechnung nach deiner Idee ist jedenfalls:
>
>
> F ' (a) = f(ln(3)+a) + f(ln(3) -a)
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10}{1+9*e^{-2*(ln(3)+a)}}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+9*e^{-2*(ln(3)-a)}}[/mm]
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10}{1+9*(e^{(ln(3)})^{-2}*e^{-2a}}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+9*(e^{(ln(3)})^{-2}*e^{2a}}[/mm]
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10}{1+9*\bruch{1}{9}*e^{-2a}}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+9*\bruch{1}{9}*e^{2a}}[/mm]
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10}{1+e^{-2a}}[/mm] + [mm]\bruch{10}{1+e^{2a}}[/mm]
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10*e^{2a}}{(1+e^{-2a})*e^{2a}}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+e^{2a}}[/mm]
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10*e^{2a}}{e^{2a}+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{10}{1+e^{2a}}[/mm]
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10*e^{2a}+10}{e^{2a}+1}[/mm]
>
> F ' (a) = [mm]\bruch{10*(e^{2a}+1)}{e^{2a}+1}[/mm]
>
> F ' (a) = 10.
>
>
> VG
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