Ungleichung beweisen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Di 05.11.2013 | | Autor: | hilbert |
| Aufgabe | | [mm] 4^n \ge \vektor{2n \\ n} [/mm] |
Ich komme hier leider weder vor noch zurück. Habe versucht den binomischen Lehrsatz zu benutzen:
[mm] 4^n=(2+2)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}2^n
[/mm]
und bin leider nicht weitergekommen.
Theoretisch weiß ich nichtmal wie ich auf 2n kommen soll, außer durch
[mm] 4^{2n}=(2+2)^{2n}=\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}2^{2n}
[/mm]
Kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Di 05.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
verwende das [mm] 4^n [/mm] = [mm] 2^{2n}=(1+1)^{2n} [/mm] gilt und wende den Binomischenlehrsatz mita=b=1 und m=2n an.
[mm] (a+b)^m=\summe_{i=0}^{m}\vektor{m \\ i}a^{m-i}b^i
[/mm]
|
|
|
| |
|
Mach das Ganze mit vollst. Induktion.
Verwende [mm] \vektor{2n+2 \\ n+1}= \bruch{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}= \bruch{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)n!(n+1)n!}=\bruch{(2n)!}{n!n!}*\bruch{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)}=\vektor{2n \\ n}*\bruch{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)} \le \vektor{2n \\ n}*\bruch{(2n+2)(2n+2)}{(n+1)(n+1)}=\vektor{2n \\ n}*2*2
[/mm]
|
|
|
|
