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Forum "Uni-Analysis" - Ungleichung durch Ableiten
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Ungleichung durch Ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Do 08.07.2004
Autor: birte

Hilfe!
Noch mal eine Aufgabe, mit der ich direkt nicht weiterkomme:

(Durch Verwendung der Ableitung lassen sich viele Ungleichungen beweisen)

a) Zeige, dass die Funktion f(x)=x – sinx auf [mm] [0\to\infty[ [/mm] monoton wachsend ist. Folgere [mm] f(x)\ge0 [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] , also
[mm] sinx\le [/mm] x  für alle [mm] x\ge0 [/mm]
b) Zeige auf ähnliche Weise:
[mm] cosx\ge1-\bruch{x^2}{2} [/mm] für alle [mm] x\in \IR [/mm]

(Betrachte zunächst den Fall [mm] x\ge0 [/mm] )

mmh.....Monotonie sagt mir ja schon was, aber wie zeige ich denn dass sinx-x isoton ist???
Habs mit den Additiontheoremen versucht, aber weiss nicht weiter.
Um die Ungleichung zu zeigen, muss ich da die Ableitung bilden? Also [mm] cosx\le1, [/mm] naja, dass ist ja immer so, wenn man sich den Graphen anschaut, auch für [mm] x\le0, [/mm] aber reicht das, wenn ich das so behaupte?
Vielleicht kann mir wieder jemand auf die Sprünge helfen
Danke,
grüsse - birte :-)


        
Bezug
Ungleichung durch Ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Do 08.07.2004
Autor: Stefan

Liebe Birte!

Du bist auf einer guten Spur. ;-)

Um zu zeigen, dass die Funktion

$f(x):= x- [mm] \sin(x)$ [/mm]

auf dem Intervall [mm] $[0,+\infty[$ [/mm] monoton wachsend ist, musst du

$f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$

für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm] nachweisen.

Das ist dir aber schon überzeugend gelungen. Es gilt:

$f'(x) = 1 - [mm] \cos(x)$, [/mm]

und wie du richtig bemerkt hast, gilt nach nun mal [mm] $\cos(x) \le [/mm] 1$, also:

$f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$. [/mm]

Nun gilt ja:

$f(0) = 0 - [mm] \sin(0) [/mm] = 0$.

Da $f$ - wie gerade gesehen - monoton wachsend auf [mm] $[0,+\infty[$ [/mm] ist, folgt daraus:

$f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$, [/mm]

also:

$x [mm] \ge \sin(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$. [/mm]


Die Teilaufgabe b) geht ganz ähnlich.

Wir definieren uns eine Funktion:

$g(x):= [mm] \cos(x) [/mm] - 1 + [mm] \frac{x^2}{2}$. [/mm]

Zunächst zeigen wir, dass für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm] gilt:

$g(x) [mm] \ge [/mm] 0$.

Das machen wir wie eben: Es gilt ja:

$g(0) = [mm] \cos(0) [/mm] - 1 + [mm] \frac{0^2}{2} [/mm] = 1 - 1 + 0 = 0$.

Wenn wir jetzt noch zeigen, dass

$g'(x) [mm] \ge [/mm] 0$

für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm] gilt, dann haben wir gezeigt, dass $g$ auf [mm] $[0,+\infty[$ [/mm] monoton wachsend ist, woraus dann

$g(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$, [/mm]

also

[mm] $\cos(x) \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{x^2}{2}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm]

folgt.

Jetzt habe ich zwei Aufgaben für dich:

1) Zeige doch jetzt mal die noch fehlende Behauptung: $g'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$. [/mm]

2) Wenn wir dann $g(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,+\infty[$ [/mm] gezeigt haben, wie folgt daraus dann $g(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in ]-\infty,0]$? [/mm]

(Tipp: Gibt es vielleicht Symmetrien, die man ausnutzen könnte? ;-))

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Ungleichung durch Ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Do 08.07.2004
Autor: birte

Danke Dir...
dann bin ich vielleicht doch nicht so doof [happy]....habs jedenfalls jetzt vestanden, so hoffe ich
Danke
birte

Bezug
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