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| Aufgabe | Sind folgende Mengen UVR? Wenn ja wann , (d.h für welche Parameter?)
[mm] U1=\{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2} | x_{1} =0 \} \cup \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2} | x_{2} =0 \} [/mm]
U2 = [mm] \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2} | ax_{1}+bx_{2}=c \} [/mm]
U3 = [mm] \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2} | ax_{1}+bx_{2}=0, cx_{1}+dx_{2}=0 \} [/mm] |
Für U1 hatte cih mir überlegt , das es mit der Abgeschlossenheit der Addition nicht aufgeht -> [mm] \vektor{0 \\ 1 }+ \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 } [/mm] , reicht das schon?
U2) Habe erst einmal den Nullvektor überprüft: a0+b0=c [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
Nun die Addition: [mm] (ax_{1}+bx_{2})+((ay_{1}+by_{2}) [/mm] = [mm] (a(x_{1}+y_{1}),b(x_{2}+y_{2}) [/mm] und weiter?
Wie macht man es bei U3?
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> Sind folgende Mengen UVR? Wenn ja wann , (d.h für welche
> Parameter?)
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> [mm]U1=\{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2} | x_{1} =0 \} \cup \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2} | x_{2} =0 \}[/mm]
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> U2 = [mm]\{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2} | ax_{1}+bx_{2}=c \}[/mm]
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> U3 = [mm]\{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^{2} | ax_{1}+bx_{2}=0, cx_{1}+dx_{2}=0 \}[/mm]
> Für U1 hatte cih mir überlegt , das es mit der
> Abgeschlossenheit der Addition nicht aufgeht -> [mm]\vektor{0 \\ 1 }+ \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 1 }[/mm] , reicht das schon?
Hallo,
ja, das reicht.
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> U2) Habe erst einmal den Nullvektor überprüft: a0+b0=c
> [mm]\Rightarrow[/mm] c=0
Hier solltest Du etwas deutlicher werden:
wenn nämlich [mm] c\not=0, [/mm] kann man die VR-Eigenschaft gleich zu Grabe tragen, denn der Nullvektor ist nicht in [mm] U_2.
[/mm]
Sei nun also c=0. Dann ist der Nullvektor drin, und es lohnt sich, weiterzumachen.
> Nun die Addition: [mm](ax_{1}+bx_{2})+((ay_{1}+by_{2})[/mm] =
> [mm](a(x_{1}+y_{1}),b(x_{2}+y_{2})[/mm] und weiter?
Was soll denn das darstellen? Vorm Gleichheitszeichen eine Zahl, hinterm Gleichheitszeichen ein Zeilenvektor...
Du mußt sowas schon gescheit aufschreiben:
Seien [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2}, y:=...\in U_2
[/mm]
Es ist x+y= ..., und dann mußt Du vorrechnen, warum das Ergebnis in [mm] U_2 [/mm] ist.
Danach entsprechend mit der Multiplikation.
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> Wie macht man es bei U3?
Eigentlich genauso.
Aber am besten versuchst Du erstmal, [mm] U_2 [/mm] manierlich zum Ende zu bringen.
Gruß v. Angela
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Auch mich würde die Anwort auf U2 bzw. U3 interessieren.
Zu U2 folgende Anregung:
Seien [mm] x=\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] und [mm] y=\vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm] Vektoren aus U2, wobei c=0, damit überhaupt ein Unterraum (sonst 0 [mm] \in [/mm] U2 nicht erfüllt).
Es gilt also außerdem: [mm] ax_{1}+bx_{2}=0 [/mm] und [mm] ay_{1}+by_{2}=0
[/mm]
Addition:
[mm] x+y=\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2}}=\vektor{x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2}} \gdw ax_{1}+bx_{2}+ay_{1}+by_{2}=0 \gdw a(x_{1}+y_{1})+b(x_{2}+y_{2})=0
[/mm]
Der erhaltene Vektor liegt nur dann in U2, falls a=0 und b=0 oder [mm] (x_{1}+y_{1}) [/mm] und [mm] (x_{2}+y_{2})=0. [/mm] Nur dann ist also die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition erfüllt.
Kann man das so begründen? Das gleiche müsste man dann mal mit der Multiplikation durchführen.
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> Zu U2 folgende Anregung:
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> Seien [mm]x=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] und [mm]y=\vektor{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
> Vektoren aus U2, wobei c=0, damit überhaupt ein Unterraum
> (sonst 0 [mm]\in[/mm] U2 nicht erfüllt).
>
> Es gilt also außerdem: [mm]ax_{1}+bx_{2}=0[/mm] und [mm]ay_{1}+by_{2}=0[/mm]
>
> Addition:
> [mm]x+y=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] + [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2}}=\vektor{x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2}} \gdw ax_{1}+bx_{2}+ay_{1}+by_{2}=0 \gdw a(x_{1}+y_{1})+b(x_{2}+y_{2})=0[/mm]
>
> Der erhaltene Vektor liegt nur dann in U2, falls a=0 und
> b=0 oder [mm](x_{1}+y_{1})[/mm] und [mm](x_{2}+y_{2})=0.[/mm] Nur dann ist
> also die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition erfüllt.
>
> Kann man das so begründen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Obgleich da schon einige richtige Bestandteile drin sind, ist es so, wie Du es dastehen hast, nicht richtig.
Ich mach Dir die Addition jetzt mal vor.
Es seien [mm] x:=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}, y:=\vektor{y_{1} \\ y_{2}}\in U_2.
[/mm]
Also ist [mm]ax_{1}+bx_{2}=0[/mm] und [mm]ay_{1}+by_{2}=0[/mm] . [Das hattest Du auch.]
Es ist [mm] x+y=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}+ \vektor{y_{1} \\ y_{2}}=\vektor{x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2}}.
[/mm]
Es ist [mm] a(x_1+y_1)+b(x_2+y_2)= \underbrace{ax_1+bx_2}_{=0\quad n.V.} +\underbrace{ay_1+by_2}_{=0\quad n.V.}=0,
[/mm]
somit ist [mm] x+y\in U_2.
[/mm]
Beachte: es sind hier keinerlei Voraussetzungen an a,b nötig.
Gruß v. Angela
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Habe auch gerade nochmal nachgerechnet und gemerkt, dass ich ja weiß, dass die beiden Sachen = 0 sind... bei dir fehlt übrigens die "2" bei dem bx ;) Danke für die Hilfe.
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