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| Aufgabe | Im [mm] V=\IR^3 [/mm] seien Unterrräume [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] gegeben durch
[mm] U_1=\langle [/mm] (1,0,1),(0,1,-1) [mm] \rangle [/mm] = [mm] {a\times (1,0,1) + b\times (0,1,-1) \mid a,b \in \IR}
[/mm]
[mm] U_2=\langle [/mm] (1,0,-1),(0,1,1) [mm] \rangle [/mm] = [mm] {a\times (1,0,-1) + b\times (0,1,1) \mid a,b \in \IR}.
[/mm]
Berechnen Sie [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] und [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2. [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe ist wohl recht einfach, aber sie ist die erste die ich in der Uni zu Vektorräumen bearbeite und ich mache das glaube ich nicht richtig.
Der Prof. hat darauf hingewiesen, dass wir lineare Gleichungssysteme zum lösen verwenden können und das wir die Bemerkung aus der Vorlesung verwenden können:
Bemerkung: V - K- VR (Vektorraum über Körper K) =>
[mm]
(i) S \subseteq V Teilmenge => \langle S \rangle = (\sum_{i=1}^N a_i v_i \mid n \in \IN, a_i \in K, v_j \in S) [/mm]
[mm]
(ii)w_i \le V \forall i \in I => w \in \sum_{i\inI} w_i <=> \exist J \subseteq I endlich \exists w_j \in W_j :w = \sum_{j\in J} w_j = \sum_{i\in I}^{end} w_i
[/mm]
Das end oben bei der letzten Summe heißt nur für endlich viele [mm] w\ne [/mm] 0. Aber das kann man hier wohl trotzdem anwenden. Ich versteh die Bemerkung so einigermaßen, verstehe aber nicht wie ich sie konkret anwenden kann.
Ich hab mir die beiden Unterräume erstmal als Geraden im [mm] \IR^3 [/mm] aufgezeichnet. Danach hab ich versucht ein Gleichungssystem für die Schnittmenge aufzustellen.
[mm] ax_1 [/mm] + 0 + [mm] ax_3 [/mm] = [mm] ax_1 [/mm] + 0 - [mm] ax_3
[/mm]
0 + [mm] bx_2 [/mm] - [mm] bx_3 [/mm] = 0 + [mm] bx_2 [/mm] + [mm] bx_3
[/mm]
=>
[mm] -bx_3=bx_3
[/mm]
[mm] ax_3=-ax_3
[/mm]
=> [mm] x_3=0
[/mm]
Das Ergebnis wäre somit, dass der Durschnitt sich aus allen reellen Zahlen [mm] (x_1,x_2,0) [/mm] zusammensetzt. Anschaulich also die Ebene, die durch die [mm] x_1 x_2 [/mm] bzw. xy Achsen aufgespannt wird.
Aus meiner Grafik kann ich nicht auf dieses Ergebnis schließen. Ich hätte eher den Schnittpunkte der beiden Geraden vermutet. Aber ich hab auch noch keine Verständnis für Vektorräume.
Bei der Addition hatte ich grafisch die Vermutung, dass die Fläche, die von den beiden Geraden aufgespannt wird die Lösung ist. Aber rechnerisch weiß ich nicht, was ich da machen sollte.
Gruß almightbald
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Hallo,
die beiden Unterräume sind Ebenen, die den Koordinatenursprung enthalten. Das kennst Du sicher aus der Schule; dort wurden sie nur etwas anders geschrieben (Parameterform!). Damit kannst Du sicher die Schnittmenge berechnen.
Wie wurde die Summe von Unterräumen eingeführt? Vielleicht kannst Du sie dir ja schon vorstellen?
Gruß Korbinian
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Ja stimmt, es handelt sich ja um zwei Ebenen und nicht um zwei Geraden.
Nachdem ich für den zweiten Unterraum c und d als Parameter gewählt habe und die beiden Ebenen gleichgesetzt habe bin auf folgendes Gleichungssystem gekommen.
a = c
b = d
a - b = d- c
nach auflösen folgt a = b
die Schnittgerade ist somit G = a (1,0,1) + a [mm] \times [/mm] (0,1,-1) = a [mm] \times [/mm] (1,1,0)
Die Summe der Teilräume ist wohl der kleinste Teilraum von [mm] \IR^3 [/mm] der S enthält. Und S ist die Vereinigung der Teilräume.
So versteh ich unsere Vorlesungsunterlagen. Anschaulich würde ich sagen, dass das Ergebnis wieder [mm] \IR^3 [/mm] ist. Vielleicht ist das Ergebnis dann einfach:
S = a [mm] \times [/mm] (1,0,1) + b [mm] \times [/mm] (0,1,-1) + c [mm] \times [/mm] (1,0,-1) + d [mm] \times [/mm] (0,1,1)
Also, dass man die vier Vektoren beliebig verbinden und skalieren kann.
Gruß almightybald
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 03.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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